Beleggingen en waardering: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tijdswaarde van geld

Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

Methode

  1. Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
  2. Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
  3. Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
  4. Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.

Obligatiekoers en rendement

Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag

Methode

  1. Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
  2. Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
  3. Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
  4. Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.

CAPM en WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D

NCW & IRR

Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)

Methode

  1. Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
  2. Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
  3. Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
  4. Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.

2Oefenopgaven

1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
jaar0123…16PV = ?€2 000€2 000€2 000€2 000

Een annuïteit betaalt 16 jaar lang aan het eind van elk jaar €2 000. De rente is 8 % per jaar. Bereken de contante waarde PV van de annuïteit.

A = €2 000i = 8%n = 16
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
maanden0123…48€12 000A?AAA

Een lening van €12 000 wordt in 4 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 2,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.

P = €12 0002,4% / 12N = 48
A = €
3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
halve jaren0123…16€20€20€20 + €1 000P = ?

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 8 jaar af. Het effectieve rendement is 5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.

F = €1 000coupon = 4%YTM = 5%n = 8
P = €
4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
jaar0123€1 125€60€60€60 + €1 060

Een obligatie met een resterende looptijd van 20 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 6%) wordt verkocht voor €1 125. De uitgever kan haar over 3 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 060. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.

F = €1 000coupon = 6%P = €1 125aflossingsprijs = €1 060vervroegd aflosbaar over 3 jaar
YTC = %
5.CAPM en WACCGemiddeld
βr (%)SMLrf​ = 3%β = 1rm​ = ?β = 0,9re​ = 7,05%

Een aandeel met een bèta van 0,9 heeft een vereist rendement van 7,05%. De risicovrije rente is 3%. Welk verwacht marktrendement rm volgt uit CAPM?

β = 0,9re = 7,05%rf = 3%
rm = %
6.CAPM en WACCMoeilijk
rf​ = 2%, rm​ − rf​ = 5,5%geen schuldeigen vermogenβU​ = 1D/E = 0,75eigen vermogenre​ = ?schuldT = 30%

De bedrijfsactiviteiten van een onderneming hebben een bèta zonder hefboom (asset beta) van 1. Ze is van plan een verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,75 aan te houden. Het belastingtarief is 30%, de risicovrije rente 2% en de marktrisicopremie 5,5%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re bij de nieuwe vermogensstructuur.

βU = 1D/E = 0,75T = 30%rf = 2%rm − rf = 5,5%
re = %
7.NCW & IRRGemiddeld
jaar0123456€40 000€5 000€5 000€5 000€5 000€5 000€5 000r = 5%, EAC = ?

Een machine kost vandaag €40 000, gaat 6 jaar mee en kost €5 000 per jaar aan bedrijfskosten (betaald aan het eind van elk jaar). De vermogenskosten zijn 5 %. Bereken de equivalente jaarlijkse kosten EAC.

C0 = €40 000M = €5 000n = 6r = 5%
EAC = €
8.NCW & IRRMoeilijk
jaar0123−25 00013 50017 50018 000

Een project kost €25 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €13 500, €17 500, €18 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.

CF0 = −25 000CF1 = 13 500CF2 = 17 500CF3 = 18 000
IRR = %

3Oplossingen

1.Tijdswaarde van geld

Antwoord: PV = 17703 €

Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.

Annuïteitsfactor

(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,2919)/0,08 = 8,851

Contante waarde

PV = 2 000·8,851 = €17 702,74

Antwoord

PV = €17 702,74
2.Tijdswaarde van geld

Antwoord: A = 262,4 €

Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.

Maandrente en aantal termijnen

i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·4 = 48

Termijn

De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.

(1 + i)−N = 0,9086
A = 12 000·0,002/(1 − 0,9086) = €262,44

Antwoord

A = €262,44
3.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: P = 934,7 €

Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.

Per periode

C = €20,00, i = 0,025, N = 16

Contante waarde van de coupons

€20,00·(1 − 0,6736)/0,025 = €261,10

Contante waarde van de nominale waarde

€1 000·0,6736 = €673,62

Koers

P = €934,72

Antwoord

P = €934,72

Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.

4.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: YTC = 3,473 %

Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.

Vergelijking voor het rendement

1125 = 60·(1 − (1 + y)−3)/y + 1060/(1 + y)3

Los numeriek op

y = 3%: €1 139,77
y = 4%: €1 108,84
YTC = 3,473%

Antwoord

YTC = 3,473%

Het effectieve rendement tot de einddatum is 4,997%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.

5.CAPM en WACC

Antwoord: rm = 7,5 %

Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).

Marktrisicopremie

rm − rf = (7,05% − 3%)/0,9 = 4,5%

Marktrendement

rm = 3% + 4,5% = 7,5%

Antwoord

rm = 7,5%
6.CAPM en WACC

Antwoord: re = 10,39 %

Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).

Bèta met hefboom

βL = 1·(1 + 0,7·0,75) = 1,525

Kosten eigen vermogen (CAPM)

re = 2% + 1,525·5,5% = 10,39%

Antwoord

re = 10,39%
7.NCW & IRR

Antwoord: EAC = 12881 €

Equivalente jaarlijkse kosten: spreid de contante waarde van alle kosten over de levensduur als een gelijk jaarlijks bedrag (een annuïteit): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Zo kun je machines met verschillende levensduren vergelijken.

Annuïteitsfactor

(1 − 1,05−6)/0,05 = 5,076

Aanschafprijs omgerekend per jaar

40 000/5,076 = 7 880,70

EAC

EAC = 7 880,70 + 5 000 = €12 880,70

Antwoord

EAC = €12 880,70
8.NCW & IRR

Antwoord: IRR = 40,39 %

Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.

De IRR insluiten

De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.

NPV(40%) = 131,20
NPV(45%) = −1 461,93

Verfijnen

Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.

IRR ≈ 40 + 5·131,20/(131,20 − (−1 461,93)) = 40,41%
exact: NPV(40,39%) = 0 → IRR = 40,39%

Antwoord

IRR = 40,39%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation