Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Je hebt over 4 jaar €50 000 nodig. Een rekening geeft 4 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €50 0004% / 4n = 4
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je leent €20 000 tegen 4,8 % per jaar, maandelijks samengesteld, en betaalt aan het eind van elke maand €400 terug. Hoeveel maanden duurt het tot de lening is afgelost (de laatste betaling mag kleiner zijn)? Geef het aantal betalingen N.
P = €20 000A = €4004,8% / 12
N = betalingen
3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Je koopt een obligatie met een resterende looptijd van 3 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 4,5%) als het effectieve rendement 8% is. Een jaar later, direct na ontvangst van de eerste coupon, verkoop je haar als het effectieve rendement 9% is. Bereken je perioderendement (holding period return) HPR in procenten.
F = €1 000coupon = 4,5%n = 3y0 = 8%y1 = 9%
HPR = %
4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een resterende looptijd van 16 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 9%) wordt verkocht voor €1 189. De uitgever kan haar over 5 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 090. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.
F = €1 000coupon = 9%P = €1 189aflossingsprijs = €1 090vervroegd aflosbaar over 5 jaar
YTC = %
5.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft een verhouding vreemd/eigen vermogen (tegen marktwaarde) van 1. De kosten van het eigen vermogen zijn 11%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 3% en het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC.
D/E = 1re = 11%rd = 3%T = 21%
WACC = %
6.CAPM en WACCMoeilijk
De aandelen van een onderneming hebben een bèta van 1,5 bij de huidige verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,2. Ze wil die verhouding verhogen tot 0,6. Het belastingtarief is 25,8%, de risicovrije rente 1,5% en de marktrisicopremie 7%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re na de wijziging.
Een investering van €20 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €8 000, €6 000, €10 000. De vermogenskosten zijn 7,000000000000001 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €25 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €18 000, €14 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −25 000CF1 = 18 000CF2 = 14 500
IRR = %
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 42641 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,04/4 = 0,01
N = 4·4 = 16
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,173 = €42 641,06
Antwoord
PV = €42 641,06
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: N = 56 betalingen
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Herschrijf de annuïteitenformule
i = 0,004
(1 + i)−N = 1 − 20 000·0,004/400 = 0,8
Los op met logaritmen
N = −ln(0,8)/ln(1,004) = 55,9
Rond naar boven af op hele betalingen
55 volledige betalingen laten een klein saldo over, dat de laatste, kleinere betaling aflost.
N = 56
Antwoord
N = 56 betalingen
3.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: HPR = 6,159 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
1189 = 90·(1 − (1 + y)−5)/y + 1090/(1 + y)5
Los numeriek op
y = 6%: €1 193,62
y = 7%: €1 146,17
YTC = 6,095%
Antwoord
YTC = 6,095%
Het effectieve rendement tot de einddatum is 6,999%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.
5.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 6,685 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten uit D/E
E/V = 1/(1 + 1) = 0,5
D/V = 1/(1 + 1) = 0,5
WACC
WACC = 0,5·11% + 0,5·3%·(1 − 0,21) = 6,685%
Antwoord
WACC = 6,685%
6.CAPM en WACC
Antwoord: re = 14,71 %
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Haal de hefboom uit de bèta
βU = 1,5/(1 + 0,742·0,2) = 1,306
Reken de hefboom in bij de nieuwe D/E
βL = 1,306·(1 + 0,742·0,6) = 1,888
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 1,5% + 1,888·7% = 14,71%
Antwoord
re = 14,71%
7.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 880,2 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 8 000/1,07 = 7 476,64
CF2/(1 + 0,07)2 = 6 000/1,145 = 5 240,63
CF3/(1 + 0,07)3 = 10 000/1,225 = 8 162,98
Optellen
NPV = €880,25
Antwoord
NPV = €880,25
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
8.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 20,24 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(20%) = 69,44
NPV(25%) = −1 320,00
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.