Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Een annuïteit betaalt 5 jaar lang aan het eind van elk jaar €500. De rente is 10 % per jaar. Bereken de contante waarde PV van de annuïteit.
A = €500i = 10%n = 5
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je wilt over 14 jaar €25 000 hebben. Je spaart aan het eind van elke maand hetzelfde bedrag op een rekening die 6 % per jaar geeft, maandelijks samengesteld. Bereken de maandelijkse inleg A.
FV = €25 0006% / 12N = 168
A = €
3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Je koopt een obligatie met een resterende looptijd van 10 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 4,5%) als het effectieve rendement 6% is. Een jaar later, direct na ontvangst van de eerste coupon, verkoop je haar als het effectieve rendement 7% is. Bereken je perioderendement (holding period return) HPR in procenten.
F = €1 000coupon = 4,5%n = 10y0 = 6%y1 = 7%
HPR = %
4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een resterende looptijd van 16 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 8%) wordt verkocht voor €1 094. De uitgever kan haar over 3 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 080. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.
F = €1 000coupon = 8%P = €1 094aflossingsprijs = €1 080vervroegd aflosbaar over 3 jaar
YTC = %
5.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €10 000 000, preferente aandelen ter waarde van €1 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €2 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 11%, de kosten van de preferente aandelen 7% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 6%. Het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC.
De bedrijfsactiviteiten van een onderneming hebben een bèta zonder hefboom (asset beta) van 1,2. Ze is van plan een verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,4 aan te houden. Het belastingtarief is 21%, de risicovrije rente 2,5% en de marktrisicopremie 4,5%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re bij de nieuwe vermogensstructuur.
βU = 1,2D/E = 0,4T = 21%rf = 2,5%rm − rf = 4,5%
re = %
7.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €50 000 en levert 5 jaar lang aan het eind van elk jaar €16 500 op. De vermogenskosten zijn 5 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.
Een project kost €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €11 000, €15 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −20 000CF1 = 11 000CF2 = 15 000
IRR = %
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 1895 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,6209)/0,1 = 3,791
Contante waarde
PV = 500·3,791 = €1 895,39
Antwoord
PV = €1 895,39
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 95,31 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
1094 = 80·(1 − (1 + y)−3)/y + 1080/(1 + y)3
Los numeriek op
y = 6%: €1 120,63
y = 7%: €1 091,55
YTC = 6,914%
Antwoord
YTC = 6,914%
Het effectieve rendement tot de einddatum is 7,005%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.
5.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 9,665 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Bèta met hefboom
βL = 1,2·(1 + 0,79·0,4) = 1,579
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 2,5% + 1,579·4,5% = 9,606%
Antwoord
re = 9,606%
7.NCW & IRR
Antwoord: DPB = 3,373 jaar
Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.
Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen
jaar 1: 16 500/1,05 = 15 714,29 → Σ = 15 714,29
jaar 2: 16 500/1,103 = 14 965,99 → Σ = 30 680,27
jaar 3: 16 500/1,158 = 14 253,32 → Σ = 44 933,59
jaar 4: 16 500/1,216 = 13 574,59 → Σ = 58 508,18
Fractie van het laatste jaar
DPB = 3 + 5 066,41/13 574,59 = 3,373
Antwoord
DPB = 3,373 jaar
De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (3,03 jaar).
8.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 18,36 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(15%) = 907,37
NPV(20%) = −416,67
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.