Beleggingen en waardering: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tijdswaarde van geld

Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

Methode

  1. Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
  2. Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
  3. Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
  4. Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.

Obligatiekoers en rendement

Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag

Methode

  1. Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
  2. Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
  3. Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
  4. Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.

CAPM en WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D

NCW & IRR

Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)

Methode

  1. Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
  2. Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
  3. Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
  4. Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.

2Oefenopgaven

1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
jaar0123…9PV = ?€12 000+4%+4%…r = 6%

Een vastgoedobject levert volgend jaar naar verwachting €12 000 netto huur op. De huur groeit naar verwachting voor altijd met 4 % per jaar. Het vereiste rendement is 6 % per jaar. Bereken de waarde PV van het object vandaag.

C1 = €12 000g = 4%r = 6%
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
maanden01…120…240€150 000AB = ?A4,2% / 12

Een hypotheek van €150 000 wordt in 20 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 4,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel is er nog verschuldigd direct na de betaling aan het eind van jaar 10? Bereken de restschuld B.

P = €150 0004,2% / 12N = 240k = 120
B = €
3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
jaar0123…9€1 065C = ?C = ?C = ? + €1 000

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 9 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €1 065 als het effectieve rendement 7% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.

F = €1 000n = 9P = €1 065YTM = 7%
c = %
4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
jaar0123…9€1 080€30€30 + €1 000

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 3% loopt over 9 jaar af en wordt verkocht voor €1 080. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.

F = €1 000coupon = 3%n = 9P = €1 080
YTM = %
5.CAPM en WACCGemiddeld
WACC = ?eigen vermogen€2 000 000re​ = 9%schuld€3 000 000rd​ = 3%T = 21%

Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €2 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €3 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 9%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC.

E = €2 000 000D = €3 000 000re = 9%rd = 3%T = 21%
WACC = %
6.CAPM en WACCMoeilijk
rf​ = 4%, rm​ − rf​ = 7%D/E = 0,4eigen vermogenβL​ = 1,5schuldD/E = 1eigen vermogenre​ = ?schuldT = 21%

De aandelen van een onderneming hebben een bèta van 1,5 bij de huidige verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,4. Ze wil die verhouding verhogen tot 1. Het belastingtarief is 21%, de risicovrije rente 4% en de marktrisicopremie 7%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re na de wijziging.

βL = 1,5D/E1 = 0,4D/E2 = 1T = 21%rf = 4%rm − rf = 7%
re = %
7.NCW & IRRGemiddeld
jaar0123−45 0009 00016 00022 000

Een investering van €45 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €9 000, €16 000, €22 000. De vermogenskosten zijn 7,000000000000001 %. Bereken de netto contante waarde NPV.

r = 7,000000000000001%CF0 = −45 000CF1 = 9 000CF2 = 16 000CF3 = 22 000
NPV = €
8.NCW & IRRMoeilijk
jaar012−40 00025 50029 500

Een project kost €40 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €25 500, €29 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.

CF0 = −40 000CF1 = 25 500CF2 = 29 500
IRR = %

3Oplossingen

1.Tijdswaarde van geld

Antwoord: PV = 600000 €

Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.

Groeiende perpetuïteit

PV = C1/(r − g) = 12 000/(0,06 − 0,04) = 12 000/0,02 = €600 000,00

Antwoord

PV = €600 000,00
2.Tijdswaarde van geld

Antwoord: B = 90496 €

Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.

Maandbedrag

i = 0,0035, N = 240
A = 150 000·0,0035/(1 − (1 + 0,0035)−240) = €924,86

Contante waarde van de resterende betalingen

Wat er nog verschuldigd is, moet precies worden afbetaald met de resterende betalingen.

N − k = 240 − 120 = 120
B = 924,9·(1 − (1 + 0,0035)−120)/0,0035 = €90 496,17

Antwoord

B = €90 496,17
3.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: c = 7,998 %

Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.

Contante waarde van de nominale waarde

1000·(1 + 0,07)−9 = €543,93

Coupon

C = (1065 − 543,93)/6,515 = €79,98

Couponrente

c = 79,98/1000 = 7,998%

Antwoord

c = 7,998%
4.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: YTM = 2,019 %

Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.

Vergelijking voor het rendement

€1 080 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Los numeriek op

P(2%) = €1 081,62, P(3%) = €1 000,00
YTM = 2,019%

Antwoord

YTM = 2,019%
5.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 5,022 %

Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).

Gewichten

V = €5 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6

WACC

WACC = 0,4·9% + 0,6·3%·(1 − 0,21) = 5,022%

Antwoord

WACC = 5,022%
6.CAPM en WACC

Antwoord: re = 18,28 %

Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).

Haal de hefboom uit de bèta

βU = 1,5/(1 + 0,79·0,4) = 1,14

Reken de hefboom in bij de nieuwe D/E

βL = 1,14·(1 + 0,79·1) = 2,04

Kosten eigen vermogen (CAPM)

re = 4% + 2,04·7% = 18,28%

Antwoord

re = 18,28%
7.NCW & IRR

Antwoord: NPV = −4655 €

Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.

Contante waarde van elke kasstroom

CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 9 000/1,07 = 8 411,21
CF2/(1 + 0,07)2 = 16 000/1,145 = 13 975,02
CF3/(1 + 0,07)3 = 22 000/1,225 = 17 958,55

Optellen

NPV = €−4 655,21

Antwoord

NPV = €−4 655,21

De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.

8.NCW & IRR

Antwoord: IRR = 23,48 %

Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.

De IRR insluiten

De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.

NPV(20%) = 1 736,11
NPV(25%) = −720,00

Verfijnen

Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.

IRR ≈ 20 + 5·1 736,11/(1 736,11 − (−720,00)) = 23,53%
exact: NPV(23,48%) = 0 → IRR = 23,48%

Antwoord

IRR = 23,48%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation