Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Je hebt over 3 jaar €15 000 nodig. Een rekening geeft 5 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €15 0005% / 12n = 3
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 7 jaar lang aan het eind van elke maand €300. De rekening geeft 4,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €3004,2% / 12N = 84
FV = €
3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 5 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €1 130 als het effectieve rendement 5% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 5P = €1 130YTM = 5%
c = %
4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 4% loopt over 3 jaar af en wordt verkocht voor €960. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 4%n = 3P = €960
YTM = %
5.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €2 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €3 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 11%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 5% en het belastingtarief is 25%. Bereken de WACC.
De bedrijfsactiviteiten van een onderneming hebben een bèta zonder hefboom (asset beta) van 1,1. Ze is van plan een verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,6 aan te houden. Het belastingtarief is 28%, de risicovrije rente 3% en de marktrisicopremie 7%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re bij de nieuwe vermogensstructuur.
βU = 1,1D/E = 0,6T = 28%rf = 3%rm − rf = 7%
re = %
7.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €80 000, gaat 5 jaar mee en kost €3 000 per jaar aan bedrijfskosten (betaald aan het eind van elk jaar). De vermogenskosten zijn 10 %. Bereken de equivalente jaarlijkse kosten EAC.
C0 = €80 000M = €3 000n = 5r = 10%
EAC = €
8.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 €20 000, €21 000, €21 000, €18 000 op. Kasstromen kunnen worden herbelegd tegen de vermogenskosten van 8 %. Bereken de gemodificeerde interne rentabiliteit MIRR in procenten.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,05/12 = 0,004167
N = 12·3 = 36
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,161 = €12 914,64
Antwoord
PV = €12 914,64
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 29237 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,05)−5 = €783,53
Coupon
C = (1130 − 783,53)/4,329 = €80,03
Couponrente
c = 80,03/1000 = 8,003%
Antwoord
c = 8,003%
4.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 5,482 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€960 = €40·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Los numeriek op
P(5%) = €972,77, P(6%) = €946,54
YTM = 5,482%
Antwoord
YTM = 5,482%
5.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 6,65 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €5 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6
WACC
WACC = 0,4·11% + 0,6·5%·(1 − 0,25) = 6,65%
Antwoord
WACC = 6,65%
6.CAPM en WACC
Antwoord: re = 14,03 %
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Bèta met hefboom
βL = 1,1·(1 + 0,72·0,6) = 1,575
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 3% + 1,575·7% = 14,03%
Antwoord
re = 14,03%
7.NCW & IRR
Antwoord: EAC = 24104 €
Equivalente jaarlijkse kosten: spreid de contante waarde van alle kosten over de levensduur als een gelijk jaarlijks bedrag (een annuïteit): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Zo kun je machines met verschillende levensduren vergelijken.
Annuïteitsfactor
(1 − 1,1−5)/0,1 = 3,791
Aanschafprijs omgerekend per jaar
80 000/3,791 = 21 103,80
EAC
EAC = 21 103,80 + 3 000 = €24 103,80
Antwoord
EAC = €24 103,80
8.NCW & IRR
Antwoord: MIRR = 15,95 %
Gemodificeerde IRR: rent elke inkomende kasstroom op tot het eind van het project tegen het herbeleggingspercentage (meestal de vermogenskosten) om de eindwaarde TV te krijgen. De MIRR is de rente die de initiële investering laat groeien tot TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.