Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Je belegt €2 000 tegen een nominale rente van 2 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 4 jaar.
PV = €2 0002% / 4n = 4
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je leent €12 000 tegen 4,2 % per jaar, maandelijks samengesteld, en betaalt aan het eind van elke maand €200 terug. Hoeveel maanden duurt het tot de lening is afgelost (de laatste betaling mag kleiner zijn)? Geef het aantal betalingen N.
P = €12 000A = €2004,2% / 12
N = betalingen
3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 11 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €864 als het effectieve rendement 9% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 11P = €864YTM = 9%
c = %
4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 4% loopt over 8 jaar af en wordt verkocht voor €1 110. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 4%n = 8P = €1 110
YTM = %
5.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €5 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €3 000 000. De WACC is 9,46%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 4,5% en het belastingtarief is 21%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re.
Een onderneming heeft eigen vermogen met een marktwaarde van €6 000 000 en kosten van het eigen vermogen van 11%. Het vreemd vermogen bestaat uit 8 000 obligaties (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 6%, resterende looptijd 5 jaar) die elk op €959 noteren. Het belastingtarief is 25,8%. Bereken de WACC, met het effectieve rendement van de obligaties als kosten van het vreemd vermogen vóór belasting.
Een project kost vandaag €200 000. Het levert aan het eind van het eerste jaar €24 000 op, en de kasstroom groeit daarna voor altijd met 2 % per jaar. De vermogenskosten zijn 12 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €200 000CF1 = €24 000g = 2%r = 12%
NPV = €
8.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €14 500, €7 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −20 000CF1 = 14 500CF2 = 7 500
IRR = %
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 2166 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Herschrijf de annuïteitenformule
i = 0,0035
(1 + i)−N = 1 − 12 000·0,0035/200 = 0,79
Los op met logaritmen
N = −ln(0,79)/ln(1,004) = 67,47
Rond naar boven af op hele betalingen
67 volledige betalingen laten een klein saldo over, dat de laatste, kleinere betaling aflost.
N = 68
Antwoord
N = 68 betalingen
3.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: c = 7,002 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,09)−11 = €387,53
Coupon
C = (864 − 387,53)/6,805 = €70,02
Couponrente
c = 70,02/1000 = 7,002%
Antwoord
c = 7,002%
4.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 2,468 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 110 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Los numeriek op
P(2%) = €1 146,51, P(3%) = €1 070,20
YTM = 2,468%
Antwoord
YTM = 2,468%
5.CAPM en WACC
Antwoord: re = 13 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
Deel van het vreemd vermogen in de WACC
0,375·4,5%·(1 − 0,21) = 1,333%
Kosten van het eigen vermogen
re = (9,46% − 1,333%)/0,625 = 13%
Antwoord
re = 13%
6.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,742 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Waarde van de kasstromen
PV = 24 000/(0,12 − 0,02) = 240 000,00
NPV
NPV = 240 000,00 − 200 000 = €40 000,00
Antwoord
NPV = €40 000,00
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
8.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 7,412 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(5%) = 612,24
NPV(10%) = −619,83
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.