Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Je belegt €5 000 tegen een nominale rente van 3,6 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 10 jaar.
PV = €5 0003,6% / 4n = 10
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een hypotheek van €150 000 wordt in 30 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 4,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel is er nog verschuldigd direct na de betaling aan het eind van jaar 12? Bereken de restschuld B.
P = €150 0004,2% / 12N = 360k = 144
B = €
3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 5% en loopt over 14 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 8% naar 10%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 5%n = 14y1 = 8%y2 = 10%
ΔP = €
4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 5% loopt over 3 jaar af en wordt verkocht voor €1 055. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 5%n = 3P = €1 055
YTM = %
5.CAPM en WACCGemiddeld
Een aandeel met een bèta van 1,2 heeft een vereist rendement van 8,8%. De risicovrije rente is 1%. Welk verwacht marktrendement rm volgt uit CAPM?
β = 1,2re = 8,8%rf = 1%
rm = %
6.CAPM en WACCMoeilijk
De bedrijfsactiviteiten van een onderneming hebben een bèta zonder hefboom (asset beta) van 1,2. Ze is van plan een verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,5 aan te houden. Het belastingtarief is 30%, de risicovrije rente 1,5% en de marktrisicopremie 5%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re bij de nieuwe vermogensstructuur.
βU = 1,2D/E = 0,5T = 30%rf = 1,5%rm − rf = 5%
re = %
7.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €100 000. Ze levert 3 jaar lang aan het eind van elk jaar €33 500 op en kan daarna voor €10 000 worden verkocht. De vermogenskosten zijn 10 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €100 000CF = €33 500S = €10 000n = 3r = 10%
NPV = €
8.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost vandaag €150 000. De kasstroom is €16 500 aan het eind van jaar 1 en groeit met 5 % per jaar tot de laatste kasstroom aan het eind van jaar 10. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €150 000CF1 = €16 500g = 5%n = 10r = 8%
NPV = €
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 7155 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandbedrag
i = 0,0035, N = 360
A = 150 000·0,0035/(1 − (1 + 0,0035)−360) = €733,53
Contante waarde van de resterende betalingen
Wat er nog verschuldigd is, moet precies worden afbetaald met de resterende betalingen.
N − k = 360 − 144 = 216
B = 733,5·(1 − (1 + 0,0035)−216)/0,0035 = €111 043,01
Antwoord
B = €111 043,01
3.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: ΔP = −121 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 055 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Los numeriek op
P(3%) = €1 056,57, P(4%) = €1 027,75
YTM = 3,054%
Antwoord
YTM = 3,054%
5.CAPM en WACC
Antwoord: rm = 7,5 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktrisicopremie
rm − rf = (8,8% − 1%)/1,2 = 6,5%
Marktrendement
rm = 1% + 6,5% = 7,5%
Antwoord
rm = 7,5%
6.CAPM en WACC
Antwoord: re = 9,6 %
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Bèta met hefboom
βL = 1,2·(1 + 0,7·0,5) = 1,62
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 1,5% + 1,62·5% = 9,6%
Antwoord
re = 9,6%
7.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −9177 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.