Beleggingen en waardering: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tijdswaarde van geld

Eindwaarde: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Contante waarde: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Meerdere perioden per jaar: i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuïteit, eindwaarde: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.

Obligatiekoers en rendement

Obligatiekoers: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halfjaarlijks: C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement: C/P
Koers en rendement: rendement omhoog → koers omlaag

Methode

Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.

CAPM en WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Ondernemingswaarde: V = E + D

NCW & IRR

Netto contante waarde: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gelijke kasstromen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interne rentevoet: de r waarbij NPV = 0
Beslissing: accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)

Methode

Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CF_t/(1 + r)^t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.

2Oefenopgaven

1.Tijdswaarde van geldGemiddeld

Je belegt €5 000 tegen 6 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 15 jaar.

PV = €5 000r = 6%t = 15

FV = €

2.Tijdswaarde van geldMoeilijk

Een hypotheek van €200 000 wordt in 20 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 5,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel is er nog verschuldigd direct na de betaling aan het eind van jaar 15? Bereken de restschuld B.

P = €200 0005,4% / 12N = 240k = 180

B = €

3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 8 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €779 als het effectieve rendement 9% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.

F = €1 000n = 8P = €779YTM = 9%

c = %

4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 11 jaar af. Ze wordt verkocht voor €841. Bereken het effectieve rendement YTM als jaarrente (twee keer het halfjaarlijkse rendement), in procenten.

F = €1 000coupon = 4% (2×)n = 11P = €841

YTM = %

5.CAPM en WACCGemiddeld

Een onderneming heeft een verhouding vreemd/eigen vermogen (tegen marktwaarde) van 1. De kosten van het eigen vermogen zijn 10%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 4,5% en het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC.

D/E = 1r_e = 10%r_d = 4,5%T = 28%

WACC = %

6.CAPM en WACCMoeilijk

Een onderneming heeft 2 500 000 aandelen van €27,00 per stuk en 20 000 obligaties met een koers van €960 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3,5% en het belastingtarief is 25,8%. De bèta van het aandeel is 1,8, de risicovrije rente 2,5% en het marktrendement 9%. Bereken de WACC.

β = 1,8r_f = 2,5%r_m = 9%r_d = 3,5%T = 25,8%

WACC = %

7.NCW & IRRGemiddeld

Een project kost vandaag €200 000. Het levert aan het eind van het eerste jaar €14 000 op, en de kasstroom groeit daarna voor altijd met 1 % per jaar. De vermogenskosten zijn 9 %. Bereken de netto contante waarde NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €14 000g = 1%r = 9%

NPV = €

8.NCW & IRRMoeilijk

Een project kost vandaag €50 000. De kasstroom is €10 000 aan het eind van jaar 1 en groeit met 4 % per jaar tot de laatste kasstroom aan het eind van jaar 5. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.

C₀ = €50 000CF₁ = €10 000g = 4%n = 5r = 8%

NPV = €

3Oplossingen

1.Tijdswaarde van geld

Antwoord: FV = 12298 €

Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)ⁿ. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.

Exponent

r·t = 0,06·15 = 0,9

e^0,9 = 2,46

Eindwaarde

FV = 5 000·2,46 = €12 298,02

Antwoord

FV = €12 298,02

2.Tijdswaarde van geld

Antwoord: B = 71609 €

Maandbedrag

i = 0,0045, N = 240

A = 200 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)⁻²⁴⁰) = €1 364,50

Contante waarde van de resterende betalingen

Wat er nog verschuldigd is, moet precies worden afbetaald met de resterende betalingen.

N − k = 240 − 180 = 60

B = 1365·(1 − (1 + 0,0045)⁻⁶⁰)/0,0045 = €71 608,52

Antwoord

B = €71 608,52

3.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: c = 5,007 %

Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.

Contante waarde van de nominale waarde

1000·(1 + 0,09)⁻⁸ = €501,87

Coupon

C = (779 − 501,87)/5,535 = €50,07

Couponrente

c = 50,07/1000 = 5,007%

Antwoord

c = 5,007%

4.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: YTM = 5,995 %

Per periode

C = €20,00, N = 22

Los numeriek op

i = 2,997% per halfjaar

YTM

YTM = 2·2,997% = 5,995%

Antwoord

YTM = 5,995%

5.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 6,62 %

Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).

Gewichten uit D/E

E/V = 1/(1 + 1) = 0,5

D/V = 1/(1 + 1) = 0,5

WACC

WACC = 0,5·10% + 0,5·4,5%·(1 − 0,28) = 6,62%

Antwoord

WACC = 6,62%

6.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 11,63 %

Marktwaarden

E = 2 500 000·€27,00 = €67 500 000

D = 20 000·€960 = €19 200 000

Kosten eigen vermogen (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,8·6,5% = 14,2%

Gewichten

V = €86 700 000, E/V = 0,7785, D/V = 0,2215

WACC

WACC = 0,7785·14,2% + 0,2215·3,5%·(1 − 0,258) = 11,63%

Antwoord

WACC = 11,63%

7.NCW & IRR

Antwoord: NPV = −25000 €

Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.

Waarde van de kasstromen

PV = 14 000/(0,09 − 0,01) = 175 000,00

NPV

NPV = 175 000,00 − 200 000 = −€25 000,00

Antwoord

NPV = −€25 000,00

De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.

8.NCW & IRR

Antwoord: NPV = −7008 €

Contante waarde van de groeiende annuïteit

((1,04)/(1,08))⁵ = 0,828

PV = 10 000/(0,08 − 0,04)·(1 − 0,828) = 42 991,62

NPV

NPV = 42 991,62 − 50 000 = −€7 008,38

Antwoord

NPV = −€7 008,38

De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation