Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Een annuïteit betaalt 9 jaar lang aan het eind van elk jaar €3 000. De rente is 5 % per jaar. Bereken de contante waarde PV van de annuïteit.
A = €3 000i = 5%n = 9
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je leent €20 000 tegen 3 % per jaar, maandelijks samengesteld, en betaalt aan het eind van elke maand €375 terug. Hoeveel maanden duurt het tot de lening is afgelost (de laatste betaling mag kleiner zijn)? Geef het aantal betalingen N.
P = €20 000A = €3753% / 12
N = betalingen
3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Je koopt een obligatie met een resterende looptijd van 10 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 5%) als het effectieve rendement 3% is. Een jaar later, direct na ontvangst van de eerste coupon, verkoop je haar als het effectieve rendement 4% is. Bereken je perioderendement (holding period return) HPR in procenten.
F = €1 000coupon = 5%n = 10y0 = 3%y1 = 4%
HPR = %
4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 5% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 4 jaar af. Ze wordt verkocht voor €1 075. Bereken het effectieve rendement YTM als jaarrente (twee keer het halfjaarlijkse rendement), in procenten.
F = €1 000coupon = 5% (2×)n = 4P = €1 075
YTM = %
5.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €6 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €2 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 10%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3,5% en het belastingtarief is 25,8%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft eigen vermogen met een marktwaarde van €8 000 000 en kosten van het eigen vermogen van 10%. Het vreemd vermogen bestaat uit 2 000 obligaties (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 6%, resterende looptijd 12 jaar) die elk op €1 137 noteren. Het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC, met het effectieve rendement van de obligaties als kosten van het vreemd vermogen vóór belasting.
Een investering van €45 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €13 000, €17 000, €15 000. De vermogenskosten zijn 7,000000000000001 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een investering van €10 000 levert 4 jaar lang aan het eind van elk jaar €3 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
C0 = €10 000CF = €3 500n = 4
IRR = %
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 21323 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,6446)/0,05 = 7,108
Contante waarde
PV = 3 000·7,108 = €21 323,47
Antwoord
PV = €21 323,47
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: N = 58 betalingen
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Herschrijf de annuïteitenformule
i = 0,0025
(1 + i)−N = 1 − 20 000·0,0025/375 = 0,8667
Los op met logaritmen
N = −ln(0,8667)/ln(1,002) = 57,31
Rond naar boven af op hele betalingen
57 volledige betalingen laten een klein saldo over, dat de laatste, kleinere betaling aflost.
N = 58
Antwoord
N = 58 betalingen
3.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: HPR = −3,951 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €25,00, N = 8
Los numeriek op
i = 1,498% per halfjaar
YTM
YTM = 2·1,498% = 2,996%
Antwoord
YTM = 2,996%
5.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,149 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·10% + 0,25·3,5%·(1 − 0,258) = 8,149%
Antwoord
WACC = 8,149%
6.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,503 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 13 000/1,07 = 12 149,53
CF2/(1 + 0,07)2 = 17 000/1,145 = 14 848,46
CF3/(1 + 0,07)3 = 15 000/1,225 = 12 244,47
Optellen
NPV = €−5 757,54
Antwoord
NPV = €−5 757,54
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
8.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 14,96 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Benodigde annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−4)/i = 10 000/3 500 = 2,857
Los de rente op
De annuïteitsfactor daalt als de rente stijgt; sluit de rente in tussen twee waarden en verklein het interval.