Beleggingen en waardering: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tijdswaarde van geld

Eindwaarde: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Contante waarde: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Meerdere perioden per jaar: i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuïteit, eindwaarde: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.

Obligatiekoers en rendement

Obligatiekoers: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halfjaarlijks: C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement: C/P
Koers en rendement: rendement omhoog → koers omlaag

Methode

Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.

CAPM en WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Ondernemingswaarde: V = E + D

NCW & IRR

Netto contante waarde: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gelijke kasstromen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interne rentevoet: de r waarbij NPV = 0
Beslissing: accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)

Methode

Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CF_t/(1 + r)^t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.

2Oefenopgaven

1.Tijdswaarde van geldGemiddeld

Je hebt over 7 jaar €5 000 nodig. Een rekening geeft 5 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.

FV = €5 0005% / 4n = 7

PV = €

2.Tijdswaarde van geldMoeilijk

Je spaart 19 jaar lang aan het eind van elke maand €500. De rekening geeft 7,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.

A = €5007,2% / 12N = 228

FV = €

3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 6 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €1 105 als het effectieve rendement 4% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.

F = €1 000n = 6P = €1 105YTM = 4%

c = %

4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4,5% en loopt over 5 jaar af. Het effectieve rendement is 3%. Bereken de Macaulay-duration D in jaren.

F = €1 000coupon = 4,5%n = 5YTM = 3%

D = jaar

5.CAPM en WACCGemiddeld

Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €2 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €1 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 12%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 6% en het belastingtarief is 25%. Bereken de WACC.

E = €2 000 000D = €1 000 000r_e = 12%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

6.CAPM en WACCMoeilijk

Een onderneming heeft eigen vermogen met een marktwaarde van €6 000 000 en kosten van het eigen vermogen van 9%. Het vreemd vermogen bestaat uit 5 000 obligaties (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 7%, resterende looptijd 8 jaar) die elk op €1 095 noteren. Het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC, met het effectieve rendement van de obligaties als kosten van het vreemd vermogen vóór belasting.

E = €6 000 000r_e = 9%obligaties: 5 000 × €1 095coupon = 7%n = 8T = 28%

WACC = %

7.NCW & IRRGemiddeld

Een project kost vandaag €60 000 en levert 4 jaar lang aan het eind van elk jaar €20 000 op. De vermogenskosten zijn 8 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.

r = 8%CF₀ = −60 000CF₁ = 20 000CF₂ = 20 000CF₃ = 20 000CF₄ = 20 000

DPB = jaar

8.NCW & IRRMoeilijk

Project A kost €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €11 500, €8 000, €5 000 op. Project B kost €25 000 en levert €7 000, €11 500, €13 500 op. Bereken de omslagrente (crossover rate) r* waarbij beide projecten dezelfde NCW hebben, in procenten.

A: −20 000, 11 500, 8 000, 5 000B: −25 000, 7 000, 11 500, 13 500

r* = %

3Oplossingen

1.Tijdswaarde van geld

Antwoord: PV = 3531 €

Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)ⁿ. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.

Rente en aantal perioden

i = 0,05/4 = 0,0125

N = 4·7 = 28

Contante waarde

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,416 = €3 531,09

Antwoord

PV = €3 531,09

2.Tijdswaarde van geld

Antwoord: FV = 242622 €

Maandrente en aantal stortingen

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·19 = 228

Eindwaarde van de stortingen

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(3,911 − 1)/0,006 = €242 622,20

Antwoord

FV = €242 622,20

Je hebt zelf €114 000 ingelegd; de rest is rente.

3.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: c = 6,003 %

Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.

Contante waarde van de nominale waarde

1000·(1 + 0,04)⁻⁶ = €790,31

Coupon

C = (1105 − 790,31)/5,242 = €60,03

Couponrente

c = 60,03/1000 = 6,003%

Antwoord

c = 6,003%

4.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: D = 4,603 jaar

Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Contante waarde van elke kasstroom

t = 1: 45/1,03 = 43,69, t·PV = 43,69

t = 2: 45/1,061 = 42,42, t·PV = 84,83

t = 3: 45/1,093 = 41,18, t·PV = 123,54

t = 4: 45/1,126 = 39,98, t·PV = 159,93

t = 5: 1045/1,159 = 901,43, t·PV = 4 507,13

Duration

P = 1 068,70

D = 4 919,13/1 068,70 = 4,603

Antwoord

D = 4,603 jaar

5.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 9,5 %

Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).

Gewichten

V = €3 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·12% + 0,3333·6%·(1 − 0,25) = 9,5%

Antwoord

WACC = 9,5%

6.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 6,595 %

Kosten van het vreemd vermogen (YTM)

1095 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + 1000/(1 + y)⁸

y = 5,5%

Marktwaarden

D = 5 000·€1 095 = €5 475 000

V = €11 475 000, E/V = 0,5229, D/V = 0,4771

WACC

WACC = 0,5229·9% + 0,4771·5,5%·(1 − 0,28) = 6,595%

Antwoord

WACC = 6,595%

7.NCW & IRR

Antwoord: DPB = 3,575 jaar

Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.

Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen

jaar 1: 20 000/1,08 = 18 518,52 → Σ = 18 518,52

jaar 2: 20 000/1,166 = 17 146,78 → Σ = 35 665,29

jaar 3: 20 000/1,26 = 15 876,64 → Σ = 51 541,94

jaar 4: 20 000/1,36 = 14 700,60 → Σ = 66 242,54

Fractie van het laatste jaar

DPB = 3 + 8 458,06/14 700,60 = 3,575

Antwoord

DPB = 3,575 jaar

De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (3 jaar).

8.NCW & IRR

Antwoord: r* = 11,01 %

Omslagrente (crossover rate): de disconteringsvoet waarbij twee projecten dezelfde NCW hebben. Het is de IRR van het verschil in hun kasstromen (B − A). Daaronder heeft het project met de latere, grotere kasstromen de hoogste NCW; daarboven wint het andere.

Verschil in kasstromen

ΔCF₀ = −25 000 − (−20 000) = −5 000

ΔCF₁ = 7 000 − 11 500 = −4 500

ΔCF₂ = 11 500 − 8 000 = 3 500

ΔCF₃ = 13 500 − 5 000 = 8 500

IRR van het verschil

NPV_Δ(11%) = 1,75

NPV_Δ(12%) = −177,55

r* = 11,01%

Antwoord

r* = 11,01%

Controle: bij 11,01% zijn beide NCW’s €506,33.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation