Beleggingen en waardering: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tijdswaarde van geld

Eindwaarde: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Contante waarde: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Meerdere perioden per jaar: i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuïteit, eindwaarde: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.

Obligatiekoers en rendement

Obligatiekoers: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halfjaarlijks: C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement: C/P
Koers en rendement: rendement omhoog → koers omlaag

Methode

Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.

CAPM en WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Ondernemingswaarde: V = E + D

NCW & IRR

Netto contante waarde: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gelijke kasstromen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interne rentevoet: de r waarbij NPV = 0
Beslissing: accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)

Methode

Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CF_t/(1 + r)^t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.

2Oefenopgaven

1.Tijdswaarde van geldGemiddeld

Een annuïteit betaalt 10 jaar lang aan het eind van elk jaar €1 500. De rente is 6 % per jaar. Bereken de contante waarde PV van de annuïteit.

A = €1 500i = 6%n = 10

PV = €

2.Tijdswaarde van geldMoeilijk

Een hypotheek van €150 000 wordt in 25 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel is er nog verschuldigd direct na de betaling aan het eind van jaar 18? Bereken de restschuld B.

P = €150 0006% / 12N = 300k = 216

B = €

3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4,5% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 4 jaar af. Het effectieve rendement is 5,5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.

F = €1 000coupon = 4,5%YTM = 5,5%n = 4

P = €

4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk

Een obligatie met een resterende looptijd van 20 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 8%) wordt verkocht voor €1 165. De uitgever kan haar over 5 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 080. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.

F = €1 000coupon = 8%P = €1 165aflossingsprijs = €1 080vervroegd aflosbaar over 5 jaar

YTC = %

5.CAPM en WACCGemiddeld

Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €5 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €1 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 10%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 6% en het belastingtarief is 30%. Bereken de WACC.

E = €5 000 000D = €1 000 000r_e = 10%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

6.CAPM en WACCMoeilijk

Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen van €39,50 per stuk en 20 000 obligaties met een koers van €980 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4,5% en het belastingtarief is 25,8%. De bèta van het aandeel is 0,6, de risicovrije rente 2% en het marktrendement 8,5%. Bereken de WACC.

β = 0,6r_f = 2%r_m = 8,5%r_d = 4,5%T = 25,8%

WACC = %

7.NCW & IRRGemiddeld

Een investering van €20 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €4 000, €8 000, €9 000. De vermogenskosten zijn 15 %. Bereken de netto contante waarde NPV.

r = 15%CF₀ = −20 000CF₁ = 4 000CF₂ = 8 000CF₃ = 9 000

NPV = €

8.NCW & IRRMoeilijk

Project A kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €6 000, €4 000, €2 000 op. Project B kost €15 000 en levert €4 000, €6 000, €8 500 op. Bereken de omslagrente (crossover rate) r* waarbij beide projecten dezelfde NCW hebben, in procenten.

A: −10 000, 6 000, 4 000, 2 000B: −15 000, 4 000, 6 000, 8 500

r* = %

3Oplossingen

1.Tijdswaarde van geld

Antwoord: PV = 11040 €

Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)ⁿ. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.

Annuïteitsfactor

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,5584)/0,06 = 7,36

Contante waarde

PV = 1 500·7,36 = €11 040,13

Antwoord

PV = €11 040,13

2.Tijdswaarde van geld

Antwoord: B = 66157 €

Maandbedrag

i = 0,005, N = 300

A = 150 000·0,005/(1 − (1 + 0,005)⁻³⁰⁰) = €966,45

Contante waarde van de resterende betalingen

Wat er nog verschuldigd is, moet precies worden afbetaald met de resterende betalingen.

N − k = 300 − 216 = 84

B = 966,5·(1 − (1 + 0,005)⁻⁸⁴)/0,005 = €66 156,59

Antwoord

B = €66 156,59

3.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: P = 964,5 €

Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.

Per periode

C = €22,50, i = 0,0275, N = 8

Contante waarde van de coupons

€22,50·(1 − 0,8049)/0,0275 = €159,62

Contante waarde van de nominale waarde

€1 000·0,8049 = €804,91

Koers

P = €964,53

Antwoord

P = €964,53

Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.

4.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: YTC = 5,561 %

Vergelijking voor het rendement

1165 = 80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1080/(1 + y)⁵

Los numeriek op

y = 5%: €1 192,57

y = 6%: €1 144,03

YTC = 5,561%

Antwoord

YTC = 5,561%

Het effectieve rendement tot de einddatum is 6,502%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.

5.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 9,033 %

Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).

Gewichten

V = €6 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667

WACC

WACC = 0,8333·10% + 0,1667·6%·(1 − 0,3) = 9,033%

Antwoord

WACC = 9,033%

6.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 5,051 %

Marktwaarden

E = 1 000 000·€39,50 = €39 500 000

D = 20 000·€980 = €19 600 000

Kosten eigen vermogen (CAPM)

r_e = 2% + 0,6·6,5% = 5,9%

Gewichten

V = €59 100 000, E/V = 0,6684, D/V = 0,3316

WACC

WACC = 0,6684·5,9% + 0,3316·4,5%·(1 − 0,258) = 5,051%

Antwoord

WACC = 5,051%

7.NCW & IRR

Antwoord: NPV = −4555 €

Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.

Contante waarde van elke kasstroom

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 4 000/1,15 = 3 478,26

CF₂/(1 + 0,15)² = 8 000/1,322 = 6 049,15

CF₃/(1 + 0,15)³ = 9 000/1,521 = 5 917,65

Optellen

NPV = €−4 554,94

Antwoord

NPV = €−4 554,94

De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.

8.NCW & IRR

Antwoord: r* = 8,144 %

Omslagrente (crossover rate): de disconteringsvoet waarbij twee projecten dezelfde NCW hebben. Het is de IRR van het verschil in hun kasstromen (B − A). Daaronder heeft het project met de latere, grotere kasstromen de hoogste NCW; daarboven wint het andere.

Verschil in kasstromen

ΔCF₀ = −15 000 − (−10 000) = −5 000

ΔCF₁ = 4 000 − 6 000 = −2 000

ΔCF₂ = 6 000 − 4 000 = 2 000

ΔCF₃ = 8 500 − 2 000 = 6 500

IRR van het verschil

NPV_Δ(8%) = 22,74

NPV_Δ(9%) = −132,31

r* = 8,144%

Antwoord

r* = 8,144%

Controle: bij 8,144% zijn beide NCW’s €549,66.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation