Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een worm met 1 gang(en) draait met 2900 rpm en drijft een wormwiel met 45 tanden aan. Vind het toerental n_w van het wiel.

z = 1N_w = 45n = 2900 rpm

n_w = rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een open riem verbindt een aandrijvende schijf van 80 mm met 960 rpm met een schijf van 400 mm; de hartafstand is 600 mm. De wrijvingscoëfficiënt is 0,25 en de spanning in het trekkende deel mag niet meer dan 500 N zijn. Bepaal het grootste vermogen P dat de riem kan overbrengen zonder te slippen, in kW (verwaarloos centrifugaaleffecten).

d₁ = 80 mmn₁ = 960 rpmd₂ = 400 mmC = 600 mmμ = 0,25T₁ = 500 N

P = kW

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 100 N·md = 30 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van aluminium brengt 50 kW over bij 750 rpm. De schuifspanning mag niet groter zijn dan 40 MPa en de wringhoek niet groter dan 0,5° per m lengte. Vind de kleinste diameter d die aan beide eisen voldoet.

P = 50 kWN = 750 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 0 MPa, σᵧ = 30 MPa en τₓᵧ = −60 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = 0 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een dunwandige cilindrische tank met binnendiameter 1200 mm en wanddikte 12 mm bevat gas met een overdruk van 0,5 MPa. Hij is gemaakt van plaat die gelast is langs een spiraalvormige naad onder 25° met de as van de cilinder. Vind de normaalspanning σ_n die dwars op de lasnaad werkt.

D = 1200 mmt = 12 mmp = 0,5 MPaα = 25°

σ_n = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 40 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van messing (diameter 50 mm, lengte 300 mm, E = 100 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,25 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø50 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 30 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) en een segment van koper (diameter 60 mm, lengte 500 mm, E = 120 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 100 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: koper, Ø60 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (staal)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 20 kg aan een veer met een stijfheid van 200 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,7 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie f_d van de vrije trilling in Hz.

m = 20 kgk = 200 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 10 kg hangt aan veer k₃ = 12 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 60 kN/m en k₂ = 20 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 10 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_w = 64,44 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Toerental van het wiel

n_w = n·z/N_w = 2900·1/45 = 64,44 rpm

Antwoord

n_w = 64,44 rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: P = 0,9614 kW

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Omspanningshoek

θ = 2,602 rad

Spanning in het slappe deel

e^μθ = e^0,6504 = 1,916, T₂ = 500/1,916 = 260,9 N

Vermogen

P = (500 − 260,9)·4,021 = 0,9614 kW

Antwoord

P = 0,9614 kW

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 5,542 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(39000·79522) = 0,09673 rad

φ = 0,09673·180/π = 5,542°

Antwoord

φ = 5,542°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 73,12 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 50000/78,54 = 636,6 N·m

Diameter op sterkte

T = 636,6 N·m = 636620 N·mm

d_τ = ∛(16·636620/(π·40)) = 43,28 mm

Diameter op stijfheid

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·636620/(π·26000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 73,12 mm

Maatgevende diameter

Beide eisen moeten gelden, dus de grootste diameter is maatgevend.

d = max(43,28, 73,12) = 73,12 mm

Antwoord

d = 73,12 mm

Hier is de stijfheid maatgevend.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = −52,02 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−60, 0 − 30) = −104°

Hoek op het element

θ_p = −52,02°

Antwoord

θ_p = −52,02°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_n = 22,77 MPa

Spanningen in de wand

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 0,5·600/12 = 25 MPa

σ_a = pr/(2t) = 12,5 MPa

Transformeer naar de naad

Neem x langs de as (σ_a) en y in omtreksrichting (σ_h). De normaal van de naad maakt 90° − α met de as.

σ_n = 12,5·sin²25° + 25·cos²25° = 22,77 MPa

Antwoord

σ_n = 22,77 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 63,85 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·1963) = 1,528 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,25/3,915 × 10⁻⁶ = 63854 N = 63,85 kN

Antwoord

P = 63,85 kN

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 26,25 MPa

Stijfheden

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 120000·2827/500 = 678584 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 100000·678584/914203 = 74227 N

Spanning

σ₂ = 74227/2827 = 26,25 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 26,25 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 913,9 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/1500² = 913852 N = 913,9 kN

Antwoord

P_cr = 913,9 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 87,73 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/20 = 150

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/150² = 87,73 MPa

Antwoord

σ_cr = 87,73 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: f_d = 11,37 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ω_n = √(200000/20) = 100 rad/s

f_n = 100/(2π) = 15,92 Hz

Gedempte eigenfrequentie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 15,92·√(1 − 0,7²) = 11,37 Hz

Antwoord

f_d = 11,37 Hz

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 5,141 Hz

Vervangende stijfheid

Alleen k₁ en k₂ staan parallel. Dat paar staat in serie met k₃, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k₁₂ = 60 + 20 = 80 kN/m

k_eq = 80·12/(80 + 12) = 10,43 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(10435/10) = 32,3 rad/s

f_n = 32,3/(2π) = 5,141 Hz

Antwoord

f_n = 5,141 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design