Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Twee evenwijdige assen liggen 125 mm uit elkaar. Ze moeten worden verbonden met een paar rechte tandwielen met een module van 2 mm en een vertraging van 4 : 1. Hoeveel tanden N₂ moet het tandwiel hebben?

a = 125 mmm = 2 mmi = 4

N₂ =

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een open riem verbindt een schijf van 100 mm en een schijf van 315 mm waarvan de hartafstand 1200 mm is. Bepaal de omspanningshoek θ op de kleinere schijf, in graden.

d₁ = 100 mmd₂ = 315 mmC = 1200 mm

θ = °

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van aluminium met een lengte van 1,5 m draagt een wringend moment van 100 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 1,5°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.

T = 100 N·mL = 1,5 mG = 26 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van staal brengt 50 kW over bij 1000 rpm. De schuifspanning mag niet groter zijn dan 75 MPa en de wringhoek niet groter dan 1° per m lengte. Vind de kleinste diameter d die aan beide eisen voldoet.

P = 50 kWN = 1000 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 1°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 60 MPa, σᵧ = 90 MPa en τₓᵧ = −40 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = 60 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 120 MPa, σᵧ = −50 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Het materiaal heeft een vloeigrens van 250 MPa. Vind de veiligheidsfactor n tegen vloeien volgens het criterium van Von Mises (vormveranderingsenergie).

σ_x = 120 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van koper onder de axiale belasting.

P = 100 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 30 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 200 MPa) zit in een buis van koper (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 70 mm, E = 120 GPa, toelaatbare spanning 80 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPabuis: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 15 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 50 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 350 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.

m = 15 kgk = 50 kN/mc = 350 N·s/m

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 25 kg hangt aan veer k₃ = 50 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 80 kN/m en k₂ = 12 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 25 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: N₂ = 100

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Totaal aantal tanden

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·125/2 = 125

Verdeel volgens de verhouding

N₁ = 125/(1 + 4) = 25

N₂ = 4·25 = 100

Antwoord

N₂ = 100

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: θ = 169,7 °

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Riemhoek

asin(0,08958) = 5,14°

Omspanningshoek

θ = 180 − 2·5,14 = 169,7°

Antwoord

θ = 169,7°

3.Torsie van assen

Antwoord: d = 38,71 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Benodigd polair traagheidsmoment

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 100000·1500/(26000·0,02618) = 220368 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 38,71 mm

Antwoord

d = 38,71 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 43,2 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 50000/104,7 = 477,5 N·m

Diameter op sterkte

T = 477,5 N·m = 477465 N·mm

d_τ = ∛(16·477465/(π·75)) = 31,89 mm

Diameter op stijfheid

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·477465/(π·80000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 43,2 mm

Maatgevende diameter

Beide eisen moeten gelden, dus de grootste diameter is maatgevend.

d = max(31,89, 43,2) = 43,2 mm

Antwoord

d = 43,2 mm

Hier is de stijfheid maatgevend.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = −55,28 °

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, 60 − 90) = −110,6°

Hoek op het element

θ_p = −55,28°

Antwoord

θ_p = −55,28°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: n = 1,563

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 35 MPa, R = 90,14 MPa

σ₁ = 125,1 MPa, σ₂ = −55,14 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(125,1² − 125,1·(−55,14) + (−55,14)²) = 160 MPa

n = 250/160 = 1,563

Antwoord

n = 1,563

n > 1 betekent dat het punt niet vloeit; Tresca is iets conservatiever dan Von Mises.

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 3,023 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 100·1000/706,9 = 141,5 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for koper = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 141,5/117000 = 0,001209 = 1209 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,001209·2500 mm = 3,023 mm

Antwoord

δ = 3,023 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 414,7 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·4006 = 6,22 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,001, 0,0006667) = 0,0006667 (koper)

Grootste belasting

P_max = 0,0006667·6,22 × 10⁸ = 414690 N = 414,7 kN

Antwoord

P_max = 414,7 kN

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 33,91 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2500² = 33913 N = 33,91 kN

Antwoord

P_cr = 33,91 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 38,86 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/15 = 133,3

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133,3² = 38,86 MPa

Antwoord

σ_cr = 38,86 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,2021

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische demping

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·15) = 1732 N·s/m

Dempingsverhouding

ζ = c/c_c = 350/1732 = 0,2021

Antwoord

ζ = 0,2021

ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 5,729 Hz

Vervangende stijfheid

Alleen k₁ en k₂ staan parallel. Dat paar staat in serie met k₃, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k₁₂ = 80 + 12 = 92 kN/m

k_eq = 92·50/(92 + 50) = 32,39 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(32394/25) = 36 rad/s

f_n = 36/(2π) = 5,729 Hz

Antwoord

f_n = 5,729 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design