Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 3 kW met 1440 rpm drijft een worm met 1 gang(en) aan. Het wormwiel heeft 30 tanden en de overbrenging heeft een rendement van 80%. Vind het uitgaande koppel T_w op de as van het wiel.

z = 1N_w = 30n = 1440 rpmP = 3 kWη = 80%

T_w = N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (45 tanden) op de ingaande as, die met 3000 rpm draait, tandwiel B (72 tanden) aan. Tandwiel C (40 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (50 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 3000 rpmA = 45B = 72C = 40D = 50

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Bij een torsieproef wordt een massief proefstuk met diameter 10 mm getordeerd door een wringend moment van 75 N·m. De twee uiteinden van een meetlengte van 250 mm verdraaien 13,68° ten opzichte van elkaar (het materiaal is nog elastisch). Vind de glijdingsmodulus G van het materiaal.

T = 75 N·md = 10 mmL = 250 mmφ = 13,68°

G = GPa

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 15 kW overbrengen bij 500 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 40 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 15 kWN = 500 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 100 MPa, σᵧ = 20 MPa en τₓᵧ = −20 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 100 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −10 MPa, σᵧ = −40 MPa en τₓᵧ = −50 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 40° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = −10 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van aluminium, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 15 kNd = 12 mmL = 3 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 85 kNdeel 1: Ø35 mm, 1,5 m, koper (E = 117 GPa)deel 2: Ø12 mm, 2 m, staal (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (staal)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 2 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 2 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 10 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.

m = 2 kgk = 2 kN/mc = 10 N·s/m

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 20 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 15 kN/m en k₂ = 15 kN/m. De massa blijft horizontaal. Vind de vervangende stijfheid k_eq van het verensysteem in kN/m.

m = 20 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 15 kN/m

k_eq = kN/m

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T_w = 477,5 N·m

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Toerental van het wiel

n_w = n·z/N_w = 1440·1/30 = 48 rpm

Uitgaand koppel

ω_w = 2π·48/60 = 5,027 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,8·3000/5,027 = 477,5 N·m

Antwoord

T_w = 477,5 N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 1500 rpm

Eerste trap

n_B = 3000·45/72 = 1875 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 1875·40/50 = 1500 rpm

Antwoord

n_out = 1500 rpm

totale overbrengingsverhouding = 2 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: G = 79,99 GPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment en hoek

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴

φ = 13,68·π/180 = 0,2388 rad

Glijdingsmodulus

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·250/(981,7·0,2388) = 79990 MPa

G = 79,99 GPa

Antwoord

G = 79,99 GPa

Ter vergelijking: staal ≈ 80 GPa, messing ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 33,16 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 15000/52,36 = 286,5 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·286479/(π·40)) = 33,16 mm

Antwoord

d = 33,16 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 44,72 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((100 − 20)/2)² + −20²) = 44,72 MPa

Antwoord

τ_max = 44,72 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = −71,64 MPa

Transformatieformule

σ_θ = −25 + 15·0,1736 + −50·0,9848 = −71,64 MPa

Antwoord

σ_θ = −71,64 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 1895 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 15·1000/113,1 = 132,6 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 132,6/70000 = 0,001895 = 1895 µε

Antwoord

ε = 1895 µε

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 8,648 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 88,35 MPa

σ₂ = 751,6 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 88,35·1500/117000 = 1,133 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 751,6·2000/200000 = 7,516 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 8,648 mm

Antwoord

δ = 8,648 mm

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 10,36 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/3000² = 10363 N = 10,36 kN

Antwoord

P_cr = 10,36 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 36,26 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/15 = 233,3

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/233,3² = 36,26 MPa

Antwoord

σ_cr = 36,26 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,07906

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische demping

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(2000·2) = 126,5 N·s/m

Dempingsverhouding

ζ = c/c_c = 10/126,5 = 0,07906

Antwoord

ζ = 0,07906

ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.

12.Mechanische trillingen

Antwoord: k_eq = 30 kN/m

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 15 + 15 = 30 kN/m

Antwoord

k_eq = 30 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design