Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Twee evenwijdige assen liggen 240 mm uit elkaar. Ze moeten worden verbonden met een paar rechte tandwielen met een module van 4 mm en een vertraging van 4 : 1. Hoeveel tanden N₁ moet het rondsel hebben?

a = 240 mmm = 4 mmi = 4

N₁ =

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een motor van 5,5 kW met 1450 rpm drijft tandwiel A (36 tanden) aan, dat ingrijpt in tandwiel B (48 tanden). Tandwiel C (25 tanden) op dezelfde as als B drijft tandwiel D (72 tanden) op de uitgaande as aan. Elke tandwielingrijping heeft een rendement van 98%. Vind het uitgaande koppel T_out.

P = 5,5 kWn_in = 1450 rpmA = 36B = 48C = 25D = 72η_mesh = 98%

T_out = N·m

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 1000 N·md = 20 mmL = 0,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van messing met diameter 40 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 2000 N·m werkt in B, op 1 m van A, en een wringend moment van 400 N·m in tegengestelde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 2,5 m verder. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

d = 40 mmT_B = 2000 N·mT_C = 400 N·mAB = 1 mBC = 2,5 m

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 40 MPa, σᵧ = 20 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Het element wordt 60° linksom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = 40 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 60°

σ_y′ = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een dunwandige cilindrische tank met binnendiameter 1200 mm en wanddikte 6 mm bevat gas met een overdruk van 2,5 MPa. Hij is gemaakt van plaat die gelast is langs een spiraalvormige naad onder 40° met de as van de cilinder. Vind de normaalspanning σ_n die dwars op de lasnaad werkt.

D = 1200 mmt = 6 mmp = 2,5 MPaα = 40°

σ_n = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van messing, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 25 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 25 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) en een segment van aluminium (diameter 30 mm, lengte 300 mm, E = 70 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 80 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: aluminium, Ø30 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 80 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 20 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 630 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.

m = 80 kgk = 20 kN/mc = 630 N·s/m

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 40 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 12 kN/m en k₂ = 12 kN/m. De massa blijft horizontaal. Vind de vervangende stijfheid k_eq van het verensysteem in kN/m.

m = 40 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: N₁ = 24

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Totaal aantal tanden

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·240/4 = 120

Verdeel volgens de verhouding

N₁ = 120/(1 + 4) = 24

Antwoord

N₁ = 24

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T_out = 133,6 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Uitgaand toerental

n_out = 1450·(36/48)·(25/72) = 377,6 rpm

ω_out = 2π·377,6/60 = 39,54 rad/s

Uitgaand vermogen en koppel

P_out = 5500·0,98² = 5282 W

T_out = P_out/ω_out = 5282/39,54 = 133,6 N·m

Antwoord

T_out = 133,6 N·m

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 22,8 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·500/(80000·15708) = 0,3979 rad

φ = 0,3979·180/π = 22,8°

Antwoord

φ = 22,8°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 127,3 MPa

Inwendige wringende momenten

Draaizin van T_C positief genomen.

T_BC = T_C = 400 N·m

T_AB = T_C − T_B = 400 − 2000 = −1600 N·m

Maximale schuifspanning

Het deel met het grootste inwendige wringend moment heeft de grootste spanning (zelfde diameter).

|T|_max = 1600 N·m

τ_max = 16·1,6 × 10⁶/(π·40³) = 127,3 MPa

Antwoord

τ_max = 127,3 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = 9,019 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = 30 − 10·(−0,5) − 30·0,866 = 9,019 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = 50,98 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 60 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = 9,019 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_n = 198,4 MPa

Spanningen in de wand

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 2,5·600/6 = 250 MPa

σ_a = pr/(2t) = 125 MPa

Transformeer naar de naad

Neem x langs de as (σ_a) en y in omtreksrichting (σ_h). De normaal van de naad maakt 90° − α met de as.

σ_n = 125·sin²40° + 250·cos²40° = 198,4 MPa

Antwoord

σ_n = 198,4 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 3183 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 25·1000/78,54 = 318,3 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 318,3/100000 = 0,003183 = 3183 µε

Antwoord

ε = 3183 µε

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 56,81 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 70000·706,9/300 = 164934 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 80000·164934/328558 = 40159 N

Spanning

σ₂ = 40159/706,9 = 56,81 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 56,81 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 112,8 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/1400² = 112795 N = 112,8 kN

Antwoord

P_cr = 112,8 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 1,554 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/15 = 666,7

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/666,7² = 1,554 MPa

Antwoord

σ_cr = 1,554 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,249

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische demping

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·80) = 2530 N·s/m

Dempingsverhouding

ζ = c/c_c = 630/2530 = 0,249

Antwoord

ζ = 0,249

ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.

12.Mechanische trillingen

Antwoord: k_eq = 24 kN/m

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 12 + 12 = 24 kN/m

Antwoord

k_eq = 24 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design