Tandwielen en tandwieloverbrengingen
- Ingrijpende tandwielen
- n1·N1 = n2·N2
- Koppel
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Vermogen
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Meertraps overbrenging
- totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen
Machineontwerp: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Torsie van assen
- Schuifspanning
- τ = T·r/J
- Massieve as
- J = πd⁴/32
- Holle as
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Wringhoek
- φ = TL/(GJ)
- Vermogen
- P = T·ω = 2πnT/60
Methode
- Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
- Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
- Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
- Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.
Cirkel van Mohr en spanningstransformatie
- Middelpunt
- C = (σx + σy)/2
- Straal
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Hoofdspanningen
- σ1,2 = C ± R
- Hoofdrichting
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Schuin vlak
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Methode
- Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
- Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Axiale spanning en rek
- Normaalspanning
- σ = F/A
- Rek
- ε = ΔL/L
- Wet van Hooke
- σ = E·ε
- Verlenging
- ΔL = FL/(EA)
- Thermische rek
- εT = α·ΔT
Knik van kolommen
- Eulerse kniklast
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Kniklengtefactor
- K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
- Kritieke spanning
- σcr = Pcr/A
- Slankheid
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mechanische trillingen
- Eigenfrequentie
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Uit de statische doorbuiging
- ωn = √(g/δst)
- Kritische demping
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Dempingsverhouding
- ζ = c/cc
- Gedempte eigenfrequentie
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmisch decrement
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Veren parallel
- k = k1 + k2
- Veren in serie
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Oefenopgaven
1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld
Een motor van 3 kW die met 1450 rpm draait, drijft een rondsel met 32 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 48 tanden. Het tandwielpaar heeft een rendement van 97%. Bereken het koppel T1 op de motoras.
P = 3 kWn1 = 1450 rpmN1 = 32N2 = 48η = 97%
T1 = N·m
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk
In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (16 tanden) op de ingaande as, die met 960 rpm draait, tandwiel B (45 tanden) aan. Tandwiel C (12 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (20 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental nout.
nin = 960 rpmA = 16B = 45C = 12D = 20
nout = rpm
3.Torsie van assenGemiddeld
Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.
T = 100 N·md = 30 mmL = 3 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsie van assenMoeilijk
Een massieve as moet 100 kW overbrengen bij 300 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 50 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.
P = 100 kWN = 300 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld
Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 20 MPa, σᵧ = 10 MPa en τₓᵧ = −20 MPa (trek positief). Bereken de hoek θp van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.
σx = 20 MPaσy = 10 MPaτxy = −20 MPa
θp = °
6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk
Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 0 MPa, σᵧ = 90 MPa en τₓᵧ = −30 MPa (σz = 0). Het materiaal heeft een vloeigrens van 350 MPa. Vind de veiligheidsfactor n tegen vloeien volgens het criterium van Tresca (maximale schuifspanning).
σx = 0 MPaσy = 90 MPaτxy = −30 MPaσY = 350 MPa
n =
7.Axiale spanning en rekGemiddeld
Vind de verlenging δ van de staaf van staal onder de axiale belasting.
P = 45 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 200 GPa
δ = mm
8.Axiale spanning en rekMoeilijk
Een segment van staal (diameter 20 mm, lengte 500 mm, E = 200 GPa) en een segment van messing (diameter 60 mm, lengte 500 mm, E = 100 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 50 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ2 in segment 2.
segment 1: staal, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
9.Knik van kolommenGemiddeld
Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.
L = 5 mE = 200 GPa (staal)d = 80 mm
Pcr = kN
10.Knik van kolommenMoeilijk
Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 125 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.
P = 125 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm
11.Mechanische trillingenGemiddeld
Een massa van 80 kg aan een veer met een stijfheid van 150 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,4 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie fd van de vrije trilling in Hz.
m = 80 kgk = 150 kN/mζ = 0,4
fd = Hz
12.Mechanische trillingenMoeilijk
Een massa van 100 kg hangt aan veer k₃ = 15 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 20 kN/m en k₂ = 60 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie fn van de verticale trilling in Hz.
m = 100 kgk1 = 20 kN/mk2 = 60 kN/mk3 = 15 kN/m
fn = Hz
3Oplossingen
1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen
Antwoord: T1 = 19,76 N·m
Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.
Motorkoppel
ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 3000/151,8 = 19,76 N·m
Antwoord
T1 = 19,76 N·m
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen
Antwoord: nout = 204,8 rpm
Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.
Eerste trap
nB = 960·16/45 = 341,3 rpm = nC
Tweede trap
nout = 341,3·12/20 = 204,8 rpm
Antwoord
nout = 204,8 rpm
totale overbrengingsverhouding = 4,688 : 1
3.Torsie van assen
Antwoord: φ = 2,702 °
Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.
Polair traagheidsmoment
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
Wringhoek
φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(80000·79522) = 0,04716 rad
φ = 0,04716·180/π = 2,702°
Antwoord
φ = 2,702°
4.Torsie van assen
Antwoord: d = 68,7 mm
Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.
Koppel
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 100000/31,42 = 3183 N·m
Diameter uit de toelaatbare spanning
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·3,183 × 10⁶/(π·50)) = 68,7 mm
Antwoord
d = 68,7 mm
In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.
5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie
Antwoord: θp = −37,98 °
Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoek op de cirkel
Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.
2θp = atan2(2·−20, 20 − 10) = −75,96°
Hoek op het element
θp = −37,98°
Antwoord
θp = −37,98°
Positieve hoeken zijn tegen de klok in.
6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie
Antwoord: n = 3,236
Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σY bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σY/2 bereikt.
Hoofdspanningen
C = 45 MPa, R = 54,08 MPa
σ1 = 99,08 MPa, σ2 = −9,083 MPa, σ3 = 0
Tresca
σmax − σmin = 108,2 MPa
n = 350/108,2 = 3,236
Antwoord
n = 3,236
n > 1 betekent dat het punt niet vloeit; Tresca is iets conservatiever dan Von Mises.
7.Axiale spanning en rek
Antwoord: δ = 4,297 mm
Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).
Spanning
A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 45·1000/78,54 = 573 MPa
Rek (wet van Hooke)
E for staal = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 573/200000 = 0,002865 = 2865 µε
Verlenging
δ = ε·L = 0,002865·1500 mm = 4,297 mm
Antwoord
δ = 4,297 mm
8.Axiale spanning en rek
Antwoord: σ2 = 14,47 MPa
Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, Pi = P·EiAi/ΣEA, en σi = Ei·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.
Stijfheden
k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm
k₂ = 100000·2827/500 = 565487 N/mm
Aandeel van segment 2
F2 = 50000·565487/691150 = 40909 N
Spanning
σ2 = 40909/2827 = 14,47 MPa (druk)
Antwoord
σ2 = 14,47 MPa
9.Knik van kolommen
Antwoord: Pcr = 635 kN
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Kleinste traagheidsmoment
Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴
Kniklengte
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
Kritieke belasting
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2500² = 635009 N = 635 kN
Antwoord
Pcr = 635 kN
10.Knik van kolommen
Antwoord: d = 116,5 mm
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Benodigde kritieke belasting
Pcr = n·P = 2·125000 = 250000 N
KL = 1·5000 = 5000 mm
Los op naar de diameter
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 116,5 mm
Antwoord
d = 116,5 mm
Controle: de slankheid KL/r is 171,7, dus de kolom is slank en Euler geldt.
11.Mechanische trillingen
Antwoord: fd = 6,316 Hz
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Ongedempte eigenfrequentie
ωn = √(150000/80) = 43,3 rad/s
fn = 43,3/(2π) = 6,892 Hz
Gedempte eigenfrequentie
fd = fn·√(1 − ζ²) = 6,892·√(1 − 0,4²) = 6,316 Hz
Antwoord
fd = 6,316 Hz
12.Mechanische trillingen
Antwoord: fn = 1,789 Hz
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Vervangende stijfheid
Alleen k1 en k2 staan parallel. Dat paar staat in serie met k3, dus combineer ze via hun omgekeerde.
k12 = 20 + 60 = 80 kN/m
keq = 80·15/(80 + 15) = 12,63 kN/m
Eigenfrequentie
ωn = √(12632/100) = 11,24 rad/s
fn = 11,24/(2π) = 1,789 Hz
Antwoord
fn = 1,789 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design