Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 4 kW die met 1500 rpm draait, drijft een rondsel met 20 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 80 tanden. Verwaarloos verliezen. Bereken het koppel T₁ op de motoras.

P = 4 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 20N₂ = 80η = 100%

T₁ = N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (18 tanden) op de ingaande as, die met 3000 rpm draait, tandwiel B (72 tanden) aan. Tandwiel C (48 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (60 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 3000 rpmA = 18B = 72C = 48D = 60

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as van messing (buitendiameter 40 mm, binnendiameter 20 mm, lengte 0,8 m) is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getordeerd door een wringend moment van 2000 N·m. Vind de wringhoek φ in graden.

T = 2000 N·md_o = 40 mmd_i = 20 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as moet 5 kW overbrengen bij 500 rpm. De binnendiameter moet 0,6 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 50 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

P = 5 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 90 MPa, σᵧ = −10 MPa en τₓᵧ = −20 MPa (trek positief). Vind de hoek θ_s, tussen −90° en 90°, van de x-as tot de normaal van het vlak waarop de schuifspanning haar maximale positieve waarde +R heeft (schuifspanning positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 90 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_s = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een massieve as met diameter 40 mm draagt een buigend moment van 750 N·m samen met een wringend moment van 1000 N·m. Aan het bovenoppervlak, waar de buigspanning trek is en het grootst, vind de grootste hoofdspanning σ₁.

d = 40 mmM = 750 N·mT = 1000 N·m

σ₁ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 30 mm, lengte 400 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van aluminium (diameter 50 mm, lengte 200 mm, E = 70 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,2 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPasegment 2: aluminium, Ø50 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 90 kNdeel 1: Ø30 mm, 1 m, koper (E = 117 GPa)deel 2: Ø20 mm, 2 m, staal (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 80 kg aan een veer met een stijfheid van 50 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,45 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie f_d van de vrije trilling in Hz.

m = 80 kgk = 50 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 20 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 10 kN/m en k₂ = 15 kN/m. De massa blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 20 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T₁ = 25,46 N·m

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Motorkoppel

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/157,1 = 25,46 N·m

Antwoord

T₁ = 25,46 N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 600 rpm

Eerste trap

n_B = 3000·18/72 = 750 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 750·48/60 = 600 rpm

Antwoord

n_out = 600 rpm

totale overbrengingsverhouding = 5 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 9,976 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

Wringhoek

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·800/(39000·235619) = 0,1741 rad

φ = 0,1741·180/π = 9,976°

Antwoord

φ = 9,976°

4.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 22,36 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 5000/52,36 = 95,49 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 95,49 N·m = 95493 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·95493/(π·50·0,8704)) = 22,36 mm

d_i = 0,6·22,36 = 13,41 mm

Antwoord

d_o = 22,36 mm

Een massieve as zou d = 21,35 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_s = −55,9 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Op de cirkel van Mohr ligt het bovenste punt (+R) 90° van het hoofdpunt σ₁; op het element is dat 45°.

cos 2θ_s = −20/53,85 = −0,3714, sin 2θ_s = −50/53,85 = −0,9285

2θ_s = atan2(−50, −20) = −111,8°

Hoek op het element

θ_s = −55,9°

controle: θ_s − θ_p = −55,9 − (−10,9) = −45°

Antwoord

θ_s = −55,9°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ₁ = 159,2 MPa

Spanningen aan het oppervlak

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·40³) = 119,4 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·40³) = 79,58 MPa

Cirkel van Mohr

C = σ/2 = 59,68 MPa

R = √(59,68² + 79,58²) = 99,47 MPa

σ₁ = C + R = 159,2 MPa

σ₂ = C − R = −39,79 MPa

Antwoord

σ₁ = 159,2 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 46,68 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·1963) = 1,455 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,2/4,285 × 10⁻⁶ = 46679 N = 46,68 kN

Antwoord

P = 46,68 kN

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 3,953 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 127,3 MPa

σ₂ = 286,5 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 127,3·1000/117000 = 1,088 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 286,5·2000/200000 = 2,865 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,953 mm

Antwoord

δ = 3,953 mm

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 3,998 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·3000 = 3000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/3000² = 3998 N = 3,998 kN

Antwoord

P_cr = 3,998 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 47,98 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/12,5 = 120

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/120² = 47,98 MPa

Antwoord

σ_cr = 47,98 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: f_d = 3,553 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ω_n = √(50000/80) = 25 rad/s

f_n = 25/(2π) = 3,979 Hz

Gedempte eigenfrequentie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,979·√(1 − 0,45²) = 3,553 Hz

Antwoord

f_d = 3,553 Hz

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 5,627 Hz

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 15 = 25 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(25000/20) = 35,36 rad/s

f_n = 35,36/(2π) = 5,627 Hz

Antwoord

f_n = 5,627 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design