Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een worm met 3 gang(en) draait met 1450 rpm en drijft een wormwiel met 48 tanden aan. Vind het toerental n_w van het wiel.

z = 3N_w = 48n = 1450 rpm

n_w = rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een motor van 15 kW met 1440 rpm drijft tandwiel A (16 tanden) aan, dat ingrijpt in tandwiel B (80 tanden). Tandwiel C (24 tanden) op dezelfde as als B drijft tandwiel D (40 tanden) op de uitgaande as aan. Elke tandwielingrijping heeft een rendement van 97%. Vind het uitgaande koppel T_out.

P = 15 kWn_in = 1440 rpmA = 16B = 80C = 24D = 40η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as van messing (buitendiameter 60 mm, binnendiameter 42 mm, lengte 2 m) is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getordeerd door een wringend moment van 250 N·m. Vind de wringhoek φ in graden.

T = 250 N·md_o = 60 mmd_i = 42 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as moet 100 kW overbrengen bij 1000 rpm. De binnendiameter moet 0,75 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 80 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

P = 100 kWN = 1000 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 20 MPa, σᵧ = −50 MPa en τₓᵧ = 60 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = 20 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 50 MPa, σᵧ = 90 MPa en τₓᵧ = −10 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τ_θ op een vlak waarvan de normaal 35° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 50 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 35°

τ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 20 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van messing (diameter 40 mm, lengte 400 mm, E = 100 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,4 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø40 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 10 kNdeel 1: Ø30 mm, 2 m, staal (E = 200 GPa)deel 2: Ø20 mm, 0,5 m, messing (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (staal)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (staal)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 50 mm 4 perioden later een piek van 30,2 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 50 mmx₄ = 30,2 mmn = 4

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 5 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 20 kN/m en k₂ = 25 kN/m. De massa blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 5 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_w = 90,63 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Toerental van het wiel

n_w = n·z/N_w = 1450·3/48 = 90,63 rpm

Antwoord

n_w = 90,63 rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T_out = 779,9 N·m

Uitgaand toerental

n_out = 1440·(16/80)·(24/40) = 172,8 rpm

ω_out = 2π·172,8/60 = 18,1 rad/s

Uitgaand vermogen en koppel

P_out = 15000·0,97² = 14114 W

T_out = P_out/ω_out = 14114/18,1 = 779,9 N·m

Antwoord

T_out = 779,9 N·m

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 0,7597 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Wringhoek

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·2000/(39000·966855) = 0,01326 rad

φ = 0,01326·180/π = 0,7597°

Antwoord

φ = 0,7597°

4.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 44,64 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 100000/104,7 = 954,9 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·80·0,6836)) = 44,64 mm

d_i = 0,75·44,64 = 33,48 mm

Antwoord

d_o = 44,64 mm

Een massieve as zou d = 39,32 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = 29,87 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·60, 20 − −50) = 59,74°

Hoek op het element

θ_p = 29,87°

Antwoord

θ_p = 29,87°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_θ = 15,37 MPa

Transformatieformule

τ_θ = −−20·0,9397 + −10·0,342 = 15,37 MPa

Antwoord

τ_θ = 15,37 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 31,42 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·1257) = 3,183 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,4/1,273 × 10⁻⁵ = 31416 N = 31,42 kN

Antwoord

P = 31,42 kN

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 31,83 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 14,15 MPa

σ₂ = 31,83 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 31,83 MPa

Antwoord

σ_max = 31,83 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 12,36 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1750² = 12359 N = 12,36 kN

Antwoord

P_cr = 12,36 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 4,371 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

KL/r = 4200/6,25 = 672

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/672² = 4,371 MPa

Antwoord

σ_cr = 4,371 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,02006

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/4)·ln(50/30,2) = 0,126

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,126/√(39,48 + 0,01589) = 0,02006

Antwoord

ζ = 0,02006

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 15,1 Hz

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 20 + 25 = 45 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(45000/5) = 94,87 rad/s

f_n = 94,87/(2π) = 15,1 Hz

Antwoord

f_n = 15,1 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design