Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Twee evenwijdige assen liggen 250 mm uit elkaar. Ze moeten worden verbonden met een paar rechte tandwielen met een module van 5 mm en een vertraging van 3 : 1. Hoeveel tanden N₁ moet het rondsel hebben?

a = 250 mmm = 5 mmi = 3

N₁ =

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (16 tanden) op de ingaande as, die met 960 rpm draait, tandwiel B (72 tanden) aan. Tandwiel C (15 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (80 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 960 rpmA = 16B = 72C = 15D = 80

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 250 N·md = 50 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van staal met diameter 20 mm is aan beide uiteinden A en B ingeklemd in starre wanden. Een wringend moment van 500 N·m werkt in C, op 0,5 m van A en 2,5 m van B. Vind het reactiemoment T_A bij wand A.

d = 20 mmT₀ = 500 N·ma = 0,5 mb = 2,5 m

T_A = N·m

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 30 MPa, σᵧ = 20 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = 30 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een dunwandige cilindrische tank met binnendiameter 1000 mm en wanddikte 15 mm bevat gas met een overdruk van 1,5 MPa. Hij is gemaakt van plaat die gelast is langs een spiraalvormige naad onder 30° met de as van de cilinder. Vind de normaalspanning σ_n die dwars op de lasnaad werkt.

D = 1000 mmt = 15 mmp = 1,5 MPaα = 30°

σ_n = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van messing, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 30 kNd = 16 mmL = 2 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 20 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 150 MPa) zit in een buis van aluminium (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 50 mm, E = 70 GPa, toelaatbare spanning 80 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPabuis: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Hij moet 145 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 145 kNn = 3L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 20 mm 5 perioden later een piek van 10,7 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 20 mmx₅ = 10,7 mmn = 5

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 25 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 5 kN/m en k₂ = 60 kN/m. De massa blijft horizontaal. Vind de vervangende stijfheid k_eq van het verensysteem in kN/m.

m = 25 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: N₁ = 25

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Totaal aantal tanden

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·250/5 = 100

Verdeel volgens de verhouding

N₁ = 100/(1 + 3) = 25

Antwoord

N₁ = 25

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 40 rpm

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Eerste trap

n_B = 960·16/72 = 213,3 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 213,3·15/80 = 40 rpm

Antwoord

n_out = 40 rpm

totale overbrengingsverhouding = 24 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 1,796 °

Polair traagheidsmoment

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 250·1000·3000/(39000·613592) = 0,03134 rad

φ = 0,03134·180/π = 1,796°

Antwoord

φ = 1,796°

4.Torsie van assen

Antwoord: T_A = 416,7 N·m

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω. Als beide uiteinden zijn ingeklemd, geeft de statica alleen T_A + T_B = T₀; de tweede vergelijking is de vormveranderingsvoorwaarde (gelijke wringhoek van beide delen bij de belaste doorsnede).

Evenwicht en vormveranderingsvoorwaarde

T_A + T_B = 500

T_A·a = T_B·b

T_A = 500·2,5/3 = 416,7 N·m

T_B = 500·0,5/3 = 83,33 N·m

Antwoord

T_A = 416,7 N·m

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = 40,27 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, 30 − 20) = 80,54°

Hoek op het element

θ_p = 40,27°

Antwoord

θ_p = 40,27°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_n = 43,75 MPa

Spanningen in de wand

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 1,5·500/15 = 50 MPa

σ_a = pr/(2t) = 25 MPa

Transformeer naar de naad

Neem x langs de as (σ_a) en y in omtreksrichting (σ_h). De normaal van de naad maakt 90° − α met de as.

σ_n = 25·sin²30° + 50·cos²30° = 43,75 MPa

Antwoord

σ_n = 43,75 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 1492 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 30·1000/201,1 = 149,2 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 149,2/100000 = 0,001492 = 1492 µε

Antwoord

ε = 1492 µε

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 537,8 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·9346 = 7,171 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,00075, 0,001143) = 0,00075 (staal)

Grootste belasting

P_max = 0,00075·7,171 × 10⁸ = 537801 N = 537,8 kN

Antwoord

P_max = 537,8 kN

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 128,5 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/1000² = 128510 N = 128,5 kN

Antwoord

P_cr = 128,5 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 133,8 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 3·145000 = 435000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·435000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 133,8 mm

Antwoord

d = 133,8 mm

Controle: de slankheid KL/r is 149,5, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,01991

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/5)·ln(20/10,7) = 0,1251

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1251/√(39,48 + 0,01565) = 0,01991

Antwoord

ζ = 0,01991

12.Mechanische trillingen

Antwoord: k_eq = 65 kN/m

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 60 = 65 kN/m

Antwoord

k_eq = 65 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design