Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een schijf van 120 mm met 1500 rpm drijft via een riem met 2 % slip een schijf van 315 mm aan. Bepaal het toerental n₂ van de aangedreven schijf.

n₁ = 1500 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 315 mms = 2 %

n₂ = rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een open riem verbindt een schijf van 200 mm en een schijf van 250 mm waarvan de hartafstand 500 mm is. Bepaal de omspanningshoek θ op de kleinere schijf, in graden.

d₁ = 200 mmd₂ = 250 mmC = 500 mm

θ = °

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 400 N·md = 30 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van staal met diameter 60 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 1500 N·m werkt in B, op 3 m van A, en een wringend moment van 250 N·m in tegengestelde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 2 m verder. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

d = 60 mmT_B = 1500 N·mT_C = 250 N·mAB = 3 mBC = 2 m

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 40 MPa, σᵧ = 70 MPa en τₓᵧ = 60 MPa (trek positief). Vind de hoek θ_s, tussen −90° en 90°, van de x-as tot de normaal van het vlak waarop de schuifspanning haar maximale positieve waarde +R heeft (schuifspanning positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 40 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_s = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −40 MPa, σᵧ = 90 MPa en τₓᵧ = −10 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 45° met de klok mee gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = −40 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −10 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van staal, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

ε = µε

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 80 kNdeel 1: Ø25 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)deel 2: Ø16 mm, 0,5 m, koper (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (staal)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (staal)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 50 kg aan een veer met een stijfheid van 20 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,7 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie f_d van de vrije trilling in Hz.

m = 50 kgk = 20 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 25 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 50 kN/m en k₂ = 30 kN/m. De massa blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 25 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 30 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n₂ = 560 rpm

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Toerental zonder slip

1500·120/315 = 571,4 rpm

Met slip

n₂ = 571,4·0,98 = 560 rpm

Antwoord

n₂ = 560 rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: θ = 174,3 °

Riemhoek

asin(0,05) = 2,866°

Omspanningshoek

θ = 180 − 2·2,866 = 174,3°

Antwoord

θ = 174,3°

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 14,78 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2000/(39000·79522) = 0,258 rad

φ = 0,258·180/π = 14,78°

Antwoord

φ = 14,78°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 29,47 MPa

Inwendige wringende momenten

Draaizin van T_C positief genomen.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 1500 = −1250 N·m

Maximale schuifspanning

Het deel met het grootste inwendige wringend moment heeft de grootste spanning (zelfde diameter).

|T|_max = 1250 N·m

τ_max = 16·1,25 × 10⁶/(π·60³) = 29,47 MPa

Antwoord

τ_max = 29,47 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_s = 7,018 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Op de cirkel van Mohr ligt het bovenste punt (+R) 90° van het hoofdpunt σ₁; op het element is dat 45°.

cos 2θ_s = 60/61,85 = 0,9701, sin 2θ_s = −(−15)/61,85 = 0,2425

2θ_s = atan2(15, 60) = 14,04°

Hoek op het element

θ_s = 7,018°

controle: θ_s − θ_p = 7,018 − 52,02 = −45°

Antwoord

θ_s = 7,018°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 35 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 25 + −65·0 + −10·−1 = 35 MPa

Antwoord

σ_θ = 35 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 848,8 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 120·1000/706,9 = 169,8 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for staal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 169,8/200000 = 0,0008488 = 848,8 µε

Antwoord

ε = 848,8 µε

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 4,029 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 163 MPa

σ₂ = 397,9 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 163·1000/70000 = 2,328 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 397,9·500/117000 = 1,7 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,029 mm

Antwoord

δ = 4,029 mm

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 9,462 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·1000 = 2000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2000² = 9462 N = 9,462 kN

Antwoord

P_cr = 9,462 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 49,35 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/15 = 200

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Antwoord

σ_cr = 49,35 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: f_d = 2,273 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ω_n = √(20000/50) = 20 rad/s

f_n = 20/(2π) = 3,183 Hz

Gedempte eigenfrequentie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,183·√(1 − 0,7²) = 2,273 Hz

Antwoord

f_d = 2,273 Hz

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 9,003 Hz

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 50 + 30 = 80 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(80000/25) = 56,57 rad/s

f_n = 56,57/(2π) = 9,003 Hz

Antwoord

f_n = 9,003 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design