Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een schijf van 120 mm met 960 rpm drijft via een riem met 1,5 % slip een schijf van 450 mm aan. Bepaal het toerental n₂ van de aangedreven schijf.

n₁ = 960 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 450 mms = 1,5 %

n₂ = rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een open riem verbindt een schijf van 125 mm en een schijf van 500 mm waarvan de hartafstand 600 mm is. Bepaal de omspanningshoek θ op de kleinere schijf, in graden.

d₁ = 125 mmd₂ = 500 mmC = 600 mm

θ = °

3.Torsie van assenGemiddeld

Een getrapte massieve as van aluminium is ingeklemd in A. Deel AB heeft diameter 25 mm en lengte 0,5 m; deel BC heeft diameter 20 mm en lengte 1,5 m. Op het vrije uiteinde C werkt een wringend moment van 100 N·m. Vind de wringhoek φ_C van uiteinde C, in graden.

T = 100 N·md₁ = 25 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 20 mm, L₂ = 1,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as moet 75 kW overbrengen bij 300 rpm. De binnendiameter moet 0,6 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 60 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

P = 75 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −60 MPa, σᵧ = −20 MPa en τₓᵧ = −50 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = −60 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een dunwandige cilindrische tank met binnendiameter 1500 mm en wanddikte 15 mm bevat gas met een overdruk van 1,2 MPa. Hij is gemaakt van plaat die gelast is langs een spiraalvormige naad onder 40° met de as van de cilinder. Vind de normaalspanning σ_n die dwars op de lasnaad werkt.

D = 1500 mmt = 15 mmp = 1,2 MPaα = 40°

σ_n = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van messing, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 70 kNd = 12 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 65 kNdeel 1: Ø30 mm, 1,5 m, staal (E = 200 GPa)deel 2: Ø12 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (staal)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Hij moet 65 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2,5 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 65 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 80 kg aan een veer met een stijfheid van 8 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,6 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie f_d van de vrije trilling in Hz.

m = 80 kgk = 8 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 25 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 80 kN/m en de onderste k₂ = 30 kN/m. Vind de vervangende stijfheid k_eq van het verensysteem in kN/m.

m = 25 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n₂ = 252,2 rpm

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Toerental zonder slip

960·120/450 = 256 rpm

Met slip

n₂ = 256·0,985 = 252,2 rpm

Antwoord

n₂ = 252,2 rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: θ = 143,6 °

Riemhoek

asin(0,3125) = 18,21°

Omspanningshoek

θ = 180 − 2·18,21 = 143,6°

Antwoord

θ = 143,6°

3.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 23,92 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polaire traagheidsmomenten

J₁ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

J₂ = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Wringhoek van elk deel

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 100000·500/(26000·38350) = 0,05015 rad

φ_BC = 100000·1500/(26000·15708) = 0,3673 rad

Totale wringhoek

φ_C = 0,05015 + 0,3673 = 0,4174 rad = 23,92°

Antwoord

φ_C = 23,92°

4.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 61,52 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 75000/31,42 = 2387 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 2387 N·m = 2,387 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2,387 × 10⁶/(π·60·0,8704)) = 61,52 mm

d_i = 0,6·61,52 = 36,91 mm

Antwoord

d_o = 61,52 mm

Een massieve as zou d = 58,74 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = −55,9 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−50, −60 − −20) = −111,8°

Hoek op het element

θ_p = −55,9°

Antwoord

θ_p = −55,9°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_n = 47,6 MPa

Spanningen in de wand

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 1,2·750/15 = 60 MPa

σ_a = pr/(2t) = 30 MPa

Transformeer naar de naad

Neem x langs de as (σ_a) en y in omtreksrichting (σ_h). De normaal van de naad maakt 90° − α met de as.

σ_n = 30·sin²40° + 60·cos²40° = 47,6 MPa

Antwoord

σ_n = 47,6 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 6189 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 70·1000/113,1 = 618,9 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 618,9/100000 = 0,006189 = 6189 µε

Antwoord

ε = 6189 µε

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 13,01 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 91,96 MPa

σ₂ = 574,7 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 91,96·1500/200000 = 0,6897 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 574,7·1500/70000 = 12,32 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 13,01 mm

Antwoord

δ = 13,01 mm

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 19,62 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·1000 = 2000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2000² = 19621 N = 19,62 kN

Antwoord

P_cr = 19,62 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 44,07 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2,5·65000 = 162500 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·162500·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 44,07 mm

Antwoord

d = 44,07 mm

Controle: de slankheid KL/r is 136,1, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: f_d = 1,273 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ω_n = √(8000/80) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1,592 Hz

Gedempte eigenfrequentie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,592·√(1 − 0,6²) = 1,273 Hz

Antwoord

f_d = 1,273 Hz

12.Mechanische trillingen

Antwoord: k_eq = 21,82 kN/m

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/80 + 1/30 → k_eq = 80·30/(80 + 30) = 21,82 kN/m

Antwoord

k_eq = 21,82 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design