Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 11 kW die met 1500 rpm draait, drijft een rondsel met 12 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 30 tanden. Verwaarloos verliezen. Bereken het koppel T₁ op de motoras.

P = 11 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 12N₂ = 30η = 100%

T₁ = N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een motor van 4 kW met 2900 rpm drijft tandwiel A (32 tanden) aan, dat ingrijpt in tandwiel B (45 tanden). Tandwiel C (30 tanden) op dezelfde as als B drijft tandwiel D (60 tanden) op de uitgaande as aan. Elke tandwielingrijping heeft een rendement van 98%. Vind het uitgaande koppel T_out.

P = 4 kWn_in = 2900 rpmA = 32B = 45C = 30D = 60η_mesh = 98%

T_out = N·m

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as van aluminium (buitendiameter 50 mm, binnendiameter 30 mm, lengte 3 m) is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getordeerd door een wringend moment van 1000 N·m. Vind de wringhoek φ in graden.

T = 1000 N·md_o = 50 mmd_i = 30 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van messing met diameter 25 mm is aan beide uiteinden A en B ingeklemd in starre wanden. Een wringend moment van 100 N·m werkt in C, op 3 m van A en 2,5 m van B. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

d = 25 mmT₀ = 100 N·ma = 3 mb = 2,5 m

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 50 MPa, σᵧ = 100 MPa en τₓᵧ = 60 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 50 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = −70 MPa, σᵧ = −60 MPa en τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Vind de vergelijkingsspanning volgens Von Mises σ_vM.

σ_x = −70 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 50 MPa

σ_vM = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van messing onder de axiale belasting.

P = 10 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 105 kNdeel 1: Ø35 mm, 1 m, koper (E = 117 GPa)deel 2: Ø12 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 12 mm 2 perioden later een piek van 7,3 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 12 mmx₂ = 7,3 mmn = 2

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 20 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 12 kN/m en de onderste k₂ = 25 kN/m. Vind de vervangende stijfheid k_eq van het verensysteem in kN/m.

m = 20 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T₁ = 70,03 N·m

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Motorkoppel

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/157,1 = 70,03 N·m

Antwoord

T₁ = 70,03 N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T_out = 35,58 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Uitgaand toerental

n_out = 2900·(32/45)·(30/60) = 1031 rpm

ω_out = 2π·1031/60 = 108 rad/s

Uitgaand vermogen en koppel

P_out = 4000·0,98² = 3842 W

T_out = P_out/ω_out = 3842/108 = 35,58 N·m

Antwoord

T_out = 35,58 N·m

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 12,38 °

Polair traagheidsmoment

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Wringhoek

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·3000/(26000·534071) = 0,216 rad

φ = 0,216·180/π = 12,38°

Antwoord

φ = 12,38°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 17,78 MPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω. Als beide uiteinden zijn ingeklemd, geeft de statica alleen T_A + T_B = T₀; de tweede vergelijking is de vormveranderingsvoorwaarde (gelijke wringhoek van beide delen bij de belaste doorsnede).

Evenwicht en vormveranderingsvoorwaarde

T_A + T_B = 100

T_A·a = T_B·b

T_A = 100·2,5/5,5 = 45,45 N·m

T_B = 100·3/5,5 = 54,55 N·m

Maximale schuifspanning

Het grootste van de twee momenten is maatgevend (zelfde diameter).

τ_max = 16·54545/(π·25³) = 17,78 MPa

Antwoord

τ_max = 17,78 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 65 MPa

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((50 − 100)/2)² + 60²) = 65 MPa

Antwoord

τ_max = 65 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_vM = 108,6 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = −65 MPa, R = 50,25 MPa

σ₁ = −14,75 MPa, σ₂ = −115,2 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √((−14,75)² − (−14,75)·(−115,2) + (−115,2)²) = 108,6 MPa

Antwoord

σ_vM = 108,6 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,7958 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 10·1000/314,2 = 31,83 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 31,83/100000 = 0,0003183 = 318,3 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,0003183·2500 mm = 0,7958 mm

Antwoord

δ = 0,7958 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 928,4 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 109,1 MPa

σ₂ = 928,4 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 928,4 MPa

Antwoord

σ_max = 928,4 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 5,888 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·3000 = 6000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/6000² = 5888 N = 5,888 kN

Antwoord

P_cr = 5,888 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 69,09 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/15 = 100

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Antwoord

σ_cr = 69,09 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,03952

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/2)·ln(12/7,3) = 0,2485

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2485/√(39,48 + 0,06176) = 0,03952

Antwoord

ζ = 0,03952

12.Mechanische trillingen

Antwoord: k_eq = 8,108 kN/m

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/12 + 1/25 → k_eq = 12·25/(12 + 25) = 8,108 kN/m

Antwoord

k_eq = 8,108 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design