Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 7,5 kW die met 1440 rpm draait, drijft een rondsel met 16 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 36 tanden. Het tandwielpaar heeft een rendement van 97%. Bereken het koppel T₁ op de motoras.

P = 7,5 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 16N₂ = 36η = 97%

T₁ = N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een open riem verbindt een schijf van 200 mm en een schijf van 250 mm waarvan de hartafstand 500 mm is. Bepaal de omspanningshoek θ op de kleinere schijf, in graden.

d₁ = 200 mmd₂ = 250 mmC = 500 mm

θ = °

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van aluminium met een lengte van 0,8 m draagt een wringend moment van 250 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 1,5°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.

T = 250 N·mL = 0,8 mG = 26 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 75 kW over bij 750 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 75 kWN = 750 rpmd_o = 100 mmd_i = 60 mm

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 70 MPa, σᵧ = −30 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (trek positief). Het element wordt 15° linksom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = 70 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 15°

σ_y′ = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 160 MPa, σᵧ = −20 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τ_θ op een vlak waarvan de normaal 25° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 160 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 25 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van messing (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 50 mm, E = 100 GPa). Beide zijn 800 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 50 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 50 kNstaaf: Ø25 mm, E = 200 GPabuis: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 90 kNdeel 1: Ø25 mm, 0,5 m, koper (E = 117 GPa)deel 2: Ø16 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (staal)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 40 kg aan een veer met een stijfheid van 25 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,7 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie f_d van de vrije trilling in Hz.

m = 40 kgk = 25 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 25 kg hangt aan veer k₃ = 12 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 50 kN/m en k₂ = 50 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 25 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T₁ = 49,74 N·m

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Motorkoppel

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 7500/150,8 = 49,74 N·m

Antwoord

T₁ = 49,74 N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: θ = 174,3 °

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Riemhoek

asin(0,05) = 2,866°

Omspanningshoek

θ = 180 − 2·2,866 = 174,3°

Antwoord

θ = 174,3°

3.Torsie van assen

Antwoord: d = 41,59 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Benodigd polair traagheidsmoment

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 250000·800/(26000·0,02618) = 293825 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 41,59 mm

Antwoord

d = 41,59 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 5,588 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(100⁴ − 60⁴)/32 = 8,545 × 10⁶ mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·50/8,545 × 10⁶ = 5,588 MPa

Antwoord

τ_max = 5,588 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = −43,3 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = 20 − 50·0,866 − 40·0,5 = −43,3 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = 83,3 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 40 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = −43,3 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_θ = −49,66 MPa

Transformatieformule

τ_θ = −90·0,766 + 30·0,6428 = −49,66 MPa

Antwoord

τ_θ = −49,66 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,03873 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·9346 = 1,033 × 10⁹ N

Verkorting

δ = 50000·800/1,033 × 10⁹ = 0,03873 mm

Antwoord

δ = 0,03873 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 447,6 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 183,3 MPa

σ₂ = 447,6 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 447,6 MPa

Antwoord

σ_max = 447,6 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 8,422 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·5000 = 10000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/10000² = 8422 N = 8,422 kN

Antwoord

P_cr = 8,422 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 34,27 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/12,5 = 240

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/240² = 34,27 MPa

Antwoord

σ_cr = 34,27 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: f_d = 2,841 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ω_n = √(25000/40) = 25 rad/s

f_n = 25/(2π) = 3,979 Hz

Gedempte eigenfrequentie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,979·√(1 − 0,7²) = 2,841 Hz

Antwoord

f_d = 2,841 Hz

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 3,295 Hz

Vervangende stijfheid

Alleen k₁ en k₂ staan parallel. Dat paar staat in serie met k₃, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k₁₂ = 50 + 50 = 100 kN/m

k_eq = 100·12/(100 + 12) = 10,71 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(10714/25) = 20,7 rad/s

f_n = 20,7/(2π) = 3,295 Hz

Antwoord

f_n = 3,295 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design