Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Twee evenwijdige assen liggen 112,5 mm uit elkaar. Ze moeten worden verbonden met een paar rechte tandwielen met een module van 3 mm en een vertraging van 1,5 : 1. Hoeveel tanden N₁ moet het rondsel hebben?

a = 112,5 mmm = 3 mmi = 1,5

N₁ =

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een open riem verbindt een aandrijvende schijf van 120 mm met 1440 rpm met een schijf van 200 mm; de hartafstand is 600 mm. De wrijvingscoëfficiënt is 0,35 en de spanning in het trekkende deel mag niet meer dan 1000 N zijn. Bepaal het grootste vermogen P dat de riem kan overbrengen zonder te slippen, in kW (verwaarloos centrifugaaleffecten).

d₁ = 120 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 200 mmC = 600 mmμ = 0,35T₁ = 1000 N

P = kW

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing met een lengte van 1,5 m draagt een wringend moment van 750 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 1,5°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.

T = 750 N·mL = 1,5 mG = 39 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van aluminium brengt 20 kW over bij 1000 rpm. De schuifspanning mag niet groter zijn dan 40 MPa en de wringhoek niet groter dan 0,75° per m lengte. Vind de kleinste diameter d die aan beide eisen voldoet.

P = 20 kWN = 1000 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 160 MPa, σᵧ = 80 MPa en τₓᵧ = 50 MPa, met σ_z = 0. Vind de absoluut maximale schuifspanning τ_abs in het punt (alle vlakken in drie dimensies bekeken).

σ_x = 160 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 50 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 20 MPa, σᵧ = 120 MPa en τₓᵧ = −20 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 30° met de klok mee gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 20 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −20 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van messing, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 80 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 20 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) en een segment van messing (diameter 30 mm, lengte 500 mm, E = 100 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 40 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 80 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 80 kNn = 3L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 10 kg aan een veer met een stijfheid van 40 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,3 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie f_d van de vrije trilling in Hz.

m = 10 kgk = 40 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 25 kg hangt aan veer k₃ = 25 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 12 kN/m en k₂ = 20 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 25 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: N₁ = 30

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Totaal aantal tanden

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·112,5/3 = 75

Verdeel volgens de verhouding

N₁ = 75/(1 + 1,5) = 30

Antwoord

N₁ = 30

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: P = 5,891 kW

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Omspanningshoek

θ = 3,008 rad

Spanning in het slappe deel

e^μθ = e^1,053 = 2,866, T₂ = 1000/2,866 = 348,9 N

Vermogen

P = (1000 − 348,9)·9,048 = 5,891 kW

Antwoord

P = 5,891 kW

3.Torsie van assen

Antwoord: d = 57,88 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Benodigd polair traagheidsmoment

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 750000·1500/(39000·0,02618) = 1,102 × 10⁶ mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 57,88 mm

Antwoord

d = 57,88 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 48,9 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 20000/104,7 = 191 N·m

Diameter op sterkte

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·40)) = 28,97 mm

Diameter op stijfheid

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·26000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 48,9 mm

Maatgevende diameter

Beide eisen moeten gelden, dus de grootste diameter is maatgevend.

d = max(28,97, 48,9) = 48,9 mm

Antwoord

d = 48,9 mm

Hier is de stijfheid maatgevend.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_abs = 92,02 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. In drie dimensies is de absoluut maximale schuifspanning (σ_max − σ_min)/2 over alle drie hoofdspanningen; in een vlakke spanningstoestand is de derde nul.

Hoofdspanningen in het vlak

C = 120 MPa, R = √(40² + 50²) = 64,03 MPa

σ₁ = 184 MPa, σ₂ = 55,97 MPa, σ_z = 0

Grootste van de drie cirkels

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(128,1, 184, 55,97)/2 = 92,02 MPa

Antwoord

τ_abs = 92,02 MPa

Hier is de cirkel buiten het vlak maatgevend: het absolute maximum is groter dan het maximum in het vlak R.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 62,32 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 70 + −50·0,5 + −20·−0,866 = 62,32 MPa

Antwoord

σ_θ = 62,32 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 3979 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 80·1000/201,1 = 397,9 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 397,9/100000 = 0,003979 = 3979 µε

Antwoord

ε = 3979 µε

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 32,51 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 100000·706,9/500 = 141372 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 40000·141372/246091 = 22979 N

Spanning

σ₂ = 22979/706,9 = 32,51 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 32,51 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 10,53 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·5000 = 10000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/10000² = 10528 N = 10,53 kN

Antwoord

P_cr = 10,53 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 63,17 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 3·80000 = 240000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 63,17 mm

Antwoord

d = 63,17 mm

Controle: de slankheid KL/r is 94,98, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: f_d = 9,602 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ω_n = √(40000/10) = 63,25 rad/s

f_n = 63,25/(2π) = 10,07 Hz

Gedempte eigenfrequentie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 10,07·√(1 − 0,3²) = 9,602 Hz

Antwoord

f_d = 9,602 Hz

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 3,771 Hz

Vervangende stijfheid

Alleen k₁ en k₂ staan parallel. Dat paar staat in serie met k₃, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k₁₂ = 12 + 20 = 32 kN/m

k_eq = 32·25/(32 + 25) = 14,04 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(14035/25) = 23,69 rad/s

f_n = 23,69/(2π) = 3,771 Hz

Antwoord

f_n = 3,771 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design