Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 2,2 kW die met 960 rpm draait, drijft een rondsel aan met 25 tanden en een module van 5 mm. Vind de tangentiële kracht F_t op de tanden van het rondsel.

P = 2,2 kWn = 960 rpmN₁ = 25m = 5 mm

F_t = N

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een open riem verbindt een aandrijvende schijf van 100 mm met 960 rpm met een schijf van 300 mm; de hartafstand is 600 mm. De wrijvingscoëfficiënt is 0,3 en de spanning in het trekkende deel mag niet meer dan 1200 N zijn. Bepaal het grootste vermogen P dat de riem kan overbrengen zonder te slippen, in kW (verwaarloos centrifugaaleffecten).

d₁ = 100 mmn₁ = 960 rpmd₂ = 300 mmC = 600 mmμ = 0,3T₁ = 1200 N

P = kW

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as moet een wringend moment van 1000 N·m dragen. De binnendiameter moet 0,8 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 75 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

T = 1000 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as moet 15 kW overbrengen bij 750 rpm. De binnendiameter moet 0,75 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 80 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

P = 15 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 110 MPa, σᵧ = 20 MPa en τₓᵧ = 60 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 110 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 30 MPa, σᵧ = 100 MPa en τₓᵧ = −20 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 15° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 30 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 30 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van aluminium (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 70 mm, E = 70 GPa). Beide zijn 500 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 80 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 80 kNstaaf: Ø30 mm, E = 200 GPabuis: Ø100/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 500 mm

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 30 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 250 MPa) zit in een buis van brons (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 60 mm, E = 110 GPa, toelaatbare spanning 80 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPabuis: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (staal)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 50 kg aan een veer met een stijfheid van 12 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,5 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie f_d van de vrije trilling in Hz.

m = 50 kgk = 12 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 20 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 50 kN/m en de onderste k₂ = 80 kN/m. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 20 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: F_t = 350,1 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Koppel op het rondsel

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T = P/ω = 2200/100,5 = 21,88 N·m

Steekcirkeldiameter

d = m·N = 5·25 = 125 mm

Tangentiële kracht

F_t = 2T/d = 2·21,88/0,125 = 350,1 N

Antwoord

F_t = 350,1 N

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: P = 3,433 kW

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Omspanningshoek

θ = 2,807 rad

Spanning in het slappe deel

e^μθ = e^0,842 = 2,321, T₂ = 1200/2,321 = 517 N

Vermogen

P = (1200 − 517)·5,027 = 3,433 kW

Antwoord

P = 3,433 kW

3.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 48,63 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·75·0,5904)) = 48,63 mm

d_i = 0,8·48,63 = 38,91 mm

Antwoord

d_o = 48,63 mm

Een massieve as zou d = 40,8 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

4.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 26,1 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 15000/78,54 = 191 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 191 N·m = 190986 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·190986/(π·80·0,6836)) = 26,1 mm

d_i = 0,75·26,1 = 19,58 mm

Antwoord

d_o = 26,1 mm

Een massieve as zou d = 22,99 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 75 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((110 − 20)/2)² + 60²) = 75 MPa

Antwoord

τ_max = 75 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 24,69 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 65 + −35·0,866 + −20·0,5 = 24,69 MPa

Antwoord

σ_θ = 24,69 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,09484 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·4006 = 4,218 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 80000·500/4,218 × 10⁸ = 0,09484 mm

Antwoord

δ = 0,09484 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 781,4 kN

Oppervlakken

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·8482 = 1,074 × 10⁹ N

Bepalende rek

ε = min(0,00125, 0,0007273) = 0,0007273 (brons)

Grootste belasting

P_max = 0,0007273·1,074 × 10⁹ = 781400 N = 781,4 kN

Antwoord

P_max = 781,4 kN

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 38,59 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Kniklengte

KL = 1·6000 = 6000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/6000² = 38586 N = 38,59 kN

Antwoord

P_cr = 38,59 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 71,06 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/15 = 166,7

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/166,7² = 71,06 MPa

Antwoord

σ_cr = 71,06 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: f_d = 2,135 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ω_n = √(12000/50) = 15,49 rad/s

f_n = 15,49/(2π) = 2,466 Hz

Gedempte eigenfrequentie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,466·√(1 − 0,5²) = 2,135 Hz

Antwoord

f_d = 2,135 Hz

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 6,243 Hz

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/50 + 1/80 → k_eq = 50·80/(50 + 80) = 30,77 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(30769/20) = 39,22 rad/s

f_n = 39,22/(2π) = 6,243 Hz

Antwoord

f_n = 6,243 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design