Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 15 kW die met 960 rpm draait, drijft een rondsel aan met 30 tanden en een module van 5 mm. Vind de tangentiële kracht F_t op de tanden van het rondsel.

P = 15 kWn = 960 rpmN₁ = 30m = 5 mm

F_t = N

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een samengestelde tandwieloverbrenging draait tandwiel A (36 tanden) op de ingaande as met 960 rpm en drijft tandwiel B (48 tanden) aan. Tandwiel C (12 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D op de uitgaande as aan. De uitgaande as moet met 108 rpm draaien. Hoeveel tanden N_D moet tandwiel D hebben?

n_in = 960 rpmA = 36B = 48C = 12n_out = 108 rpm

N_D =

3.Torsie van assenGemiddeld

Bij een torsieproef wordt een massief proefstuk met diameter 15 mm getordeerd door een wringend moment van 20 N·m. De twee uiteinden van een meetlengte van 250 mm verdraaien 2,22° ten opzichte van elkaar (het materiaal is nog elastisch). Vind de glijdingsmodulus G van het materiaal.

T = 20 N·md = 15 mmL = 250 mmφ = 2,22°

G = GPa

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as moet 10 kW overbrengen bij 1000 rpm. De binnendiameter moet 0,8 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 50 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

P = 10 kWN = 1000 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 150 MPa, σᵧ = 40 MPa en τₓᵧ = −40 MPa, met σ_z = 0. Vind de absoluut maximale schuifspanning τ_abs in het punt (alle vlakken in drie dimensies bekeken).

σ_x = 150 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −70 MPa, σᵧ = 40 MPa en τₓᵧ = −50 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τ_θ op een vlak waarvan de normaal 20° met de klok mee gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = −70 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -20°

τ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van koper, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 100 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 115 kNdeel 1: Ø40 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)deel 2: Ø16 mm, 1 m, koper (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (staal)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 8 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 80 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 480 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.

m = 8 kgk = 80 kN/mc = 480 N·s/m

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 50 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 15 kN/m en de onderste k₂ = 12 kN/m. Vind de vervangende stijfheid k_eq van het verensysteem in kN/m.

m = 50 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: F_t = 1989 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Koppel op het rondsel

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T = P/ω = 15000/100,5 = 149,2 N·m

Steekcirkeldiameter

d = m·N = 5·30 = 150 mm

Tangentiële kracht

F_t = 2T/d = 2·149,2/0,15 = 1989 N

Antwoord

F_t = 1989 N

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: N_D = 80

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Toerental van de tussenas

n_B = n_C = 960·36/48 = 720 rpm

Tanden op tandwiel D

N_D = C·n_C/n_out = 12·720/108 = 80

Antwoord

N_D = 80

3.Torsie van assen

Antwoord: G = 25,96 GPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment en hoek

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 2,22·π/180 = 0,03875 rad

Glijdingsmodulus

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·250/(4970·0,03875) = 25964 MPa

G = 25,96 GPa

Antwoord

G = 25,96 GPa

Ter vergelijking: staal ≈ 80 GPa, messing ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 25,45 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 10000/104,7 = 95,49 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 95,49 N·m = 95493 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·95493/(π·50·0,5904)) = 25,45 mm

d_i = 0,8·25,45 = 20,36 mm

Antwoord

d_o = 25,45 mm

Een massieve as zou d = 21,35 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_abs = 81,5 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. In drie dimensies is de absoluut maximale schuifspanning (σ_max − σ_min)/2 over alle drie hoofdspanningen; in een vlakke spanningstoestand is de derde nul.

Hoofdspanningen in het vlak

C = 95 MPa, R = √(55² + (−40)²) = 68,01 MPa

σ₁ = 163 MPa, σ₂ = 26,99 MPa, σ_z = 0

Grootste van de drie cirkels

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(136, 163, 26,99)/2 = 81,5 MPa

Antwoord

τ_abs = 81,5 MPa

Hier is de cirkel buiten het vlak maatgevend: het absolute maximum is groter dan het maximum in het vlak R.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_θ = −73,66 MPa

Transformatieformule

τ_θ = −−55·−0,6428 + −50·0,766 = −73,66 MPa

Antwoord

τ_θ = −73,66 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 1741 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 100·1000/490,9 = 203,7 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for koper = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 203,7/117000 = 0,001741 = 1741 µε

Antwoord

ε = 1741 µε

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 5,542 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 91,51 MPa

σ₂ = 572 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 91,51·500/70000 = 0,6537 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 572·1000/117000 = 4,889 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,542 mm

Antwoord

δ = 5,542 mm

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 16,65 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·4000 = 4000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/4000² = 16655 N = 16,65 kN

Antwoord

P_cr = 16,65 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 26,99 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

Antwoord

σ_cr = 26,99 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,3

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische demping

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·8) = 1600 N·s/m

Dempingsverhouding

ζ = c/c_c = 480/1600 = 0,3

Antwoord

ζ = 0,3

ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.

12.Mechanische trillingen

Antwoord: k_eq = 6,667 kN/m

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/12 → k_eq = 15·12/(15 + 12) = 6,667 kN/m

Antwoord

k_eq = 6,667 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design