Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een riem loopt op een aandrijvende schijf van 160 mm met 1440 rpm. De spanning is 1500 N in het trekkende deel en 600 N in het slappe deel. Bepaal het overgebrachte vermogen P, in kW.

d₁ = 160 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 1500 NT₂ = 600 N

P = kW

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (45 tanden) op de ingaande as, die met 1500 rpm draait, tandwiel B (72 tanden) aan. Tandwiel C (30 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (60 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 1500 rpmA = 45B = 72C = 30D = 60

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van aluminium is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 200 N·md = 30 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van staal met diameter 50 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 250 N·m werkt in B, op 1,5 m van A, en een wringend moment van 1000 N·m in tegengestelde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 3 m verder. Vind de grootte van de wringhoek φ_C van uiteinde C, in graden.

d = 50 mmT_B = 250 N·mT_C = 1000 N·mAB = 1,5 mBC = 3 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −60 MPa, σᵧ = 90 MPa en τₓᵧ = −10 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = −60 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_p = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 10 MPa, σᵧ = −50 MPa en τₓᵧ = 60 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 30° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 10 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van staal, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 60 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

ε = µε

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 25 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) en een segment van messing (diameter 40 mm, lengte 400 mm, E = 100 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 100 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø40 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (staal)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 15 mm 3 perioden later een piek van 5,8 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 15 mmx₃ = 5,8 mmn = 3

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 10 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 10 kN/m en de onderste k₂ = 25 kN/m. Vind de vervangende stijfheid k_eq van het verensysteem in kN/m.

m = 10 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: P = 10,86 kW

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Riemsnelheid

v = 12,06 m/s

Vermogen

P = (1500 − 600)·12,06 = 10857 W = 10,86 kW

Antwoord

P = 10,86 kW

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 468,8 rpm

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Eerste trap

n_B = 1500·45/72 = 937,5 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 937,5·30/60 = 468,8 rpm

Antwoord

n_out = 468,8 rpm

totale overbrengingsverhouding = 3,2 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 11,08 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2000/(26000·79522) = 0,1935 rad

φ = 0,1935·180/π = 11,08°

Antwoord

φ = 11,08°

4.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 4,815 °

Inwendige wringende momenten

Draaizin van T_C positief genomen.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1000 − 250 = 750 N·m

Wringhoek van elk deel

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 750000·1500/(80000·613592) = 0,02292 rad

φ_BC = 1 × 10⁶·3000/(80000·613592) = 0,06112 rad

Wringhoek van uiteinde C

φ_C = 0,02292 + 0,06112 = 0,08403 rad → |φ_C| = 4,815°

Antwoord

φ_C = 4,815°

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = −86,2 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−10, −60 − 90) = −172,4°

Hoek op het element

θ_p = −86,2°

Antwoord

θ_p = −86,2°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 46,96 MPa

Transformatieformule

σ_θ = −20 + 30·0,5 + 60·0,866 = 46,96 MPa

Antwoord

σ_θ = 46,96 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 611,2 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 60·1000/490,9 = 122,2 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for staal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 122,2/200000 = 0,0006112 = 611,2 µε

Antwoord

ε = 611,2 µε

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 52,32 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 100000·1257/400 = 314159 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 100000·314159/477784 = 65753 N

Spanning

σ₂ = 65753/1257 = 52,32 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 52,32 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 17,8 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2100² = 17797 N = 17,8 kN

Antwoord

P_cr = 17,8 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 27,76 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/7,5 = 266,7

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

Antwoord

σ_cr = 27,76 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,05035

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/3)·ln(15/5,8) = 0,3167

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3167/√(39,48 + 0,1003) = 0,05035

Antwoord

ζ = 0,05035

12.Mechanische trillingen

Antwoord: k_eq = 7,143 kN/m

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/10 + 1/25 → k_eq = 10·25/(10 + 25) = 7,143 kN/m

Antwoord

k_eq = 7,143 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design