Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een schijf van 100 mm met 1500 rpm drijft via een riem met 1 % slip een schijf van 400 mm aan. Bepaal het toerental n₂ van de aangedreven schijf.

n₁ = 1500 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 400 mms = 1 %

n₂ = rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een open riem verbindt een aandrijvende schijf van 120 mm met 1440 rpm met een schijf van 315 mm; de hartafstand is 500 mm. De wrijvingscoëfficiënt is 0,25 en de spanning in het trekkende deel mag niet meer dan 2000 N zijn. Bepaal het grootste vermogen P dat de riem kan overbrengen zonder te slippen, in kW (verwaarloos centrifugaaleffecten).

d₁ = 120 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 315 mmC = 500 mmμ = 0,25T₁ = 2000 N

P = kW

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as van aluminium (buitendiameter 40 mm, binnendiameter 30 mm, lengte 1,2 m) is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getordeerd door een wringend moment van 200 N·m. Vind de wringhoek φ in graden.

T = 200 N·md_o = 40 mmd_i = 30 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van aluminium brengt 10 kW over bij 300 rpm. De schuifspanning mag niet groter zijn dan 75 MPa en de wringhoek niet groter dan 1° per m lengte. Vind de kleinste diameter d die aan beide eisen voldoet.

P = 10 kWN = 300 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 1°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 150 MPa, σᵧ = 40 MPa en τₓᵧ = −40 MPa (trek positief). Het element wordt 50° linksom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = 150 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 50°

σ_y′ = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = −60 MPa, σᵧ = 90 MPa en τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). Vind de vergelijkingsspanning volgens Von Mises σ_vM.

σ_x = −60 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −60 MPa

σ_vM = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van aluminium, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 95 kNd = 25 mmL = 1 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 90 kNdeel 1: Ø30 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)deel 2: Ø12 mm, 1,5 m, koper (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Hij moet 40 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2,5 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 40 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 80 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 150 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 690 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.

m = 80 kgk = 150 kN/mc = 690 N·s/m

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 25 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 25 kN/m en de onderste k₂ = 100 kN/m. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 25 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n₂ = 371,3 rpm

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Toerental zonder slip

1500·100/400 = 375 rpm

Met slip

n₂ = 375·0,99 = 371,3 rpm

Antwoord

n₂ = 371,3 rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: P = 8,994 kW

Omspanningshoek

θ = 2,749 rad

Spanning in het slappe deel

e^μθ = e^0,6873 = 1,988, T₂ = 2000/1,988 = 1006 N

Vermogen

P = (2000 − 1006)·9,048 = 8,994 kW

Antwoord

P = 8,994 kW

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 3,078 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

Wringhoek

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 200000·1200/(26000·171806) = 0,05373 rad

φ = 0,05373·180/π = 3,078°

Antwoord

φ = 3,078°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 51,7 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 10000/31,42 = 318,3 N·m

Diameter op sterkte

T = 318,3 N·m = 318310 N·mm

d_τ = ∛(16·318310/(π·75)) = 27,86 mm

Diameter op stijfheid

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·318310/(π·26000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 51,7 mm

Maatgevende diameter

Beide eisen moeten gelden, dus de grootste diameter is maatgevend.

d = max(27,86, 51,7) = 51,7 mm

Antwoord

d = 51,7 mm

Hier is de stijfheid maatgevend.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = 143,9 MPa

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = 95 − 55·(−0,1736) − (−40)·0,9848 = 143,9 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = 46,06 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 190 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = 143,9 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_vM = 167 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 15 MPa, R = 96,05 MPa

σ₁ = 111 MPa, σ₂ = −81,05 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(111² − 111·(−81,05) + (−81,05)²) = 167 MPa

Antwoord

σ_vM = 167 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 2765 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 95·1000/490,9 = 193,5 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 193,5/70000 = 0,002765 = 2765 µε

Antwoord

ε = 2765 µε

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 795,8 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 127,3 MPa

σ₂ = 795,8 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 795,8 MPa

Antwoord

σ_max = 795,8 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 3,052 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/3000² = 3052 N = 3,052 kN

Antwoord

P_cr = 3,052 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 32,66 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2,5·40000 = 100000 N

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 32,66 mm

Antwoord

d = 32,66 mm

Controle: de slankheid KL/r is 128,6, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,09959

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische demping

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·80) = 6928 N·s/m

Dempingsverhouding

ζ = c/c_c = 690/6928 = 0,09959

Antwoord

ζ = 0,09959

ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 4,502 Hz

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/25 + 1/100 → k_eq = 25·100/(25 + 100) = 20 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(20000/25) = 28,28 rad/s

f_n = 28,28/(2π) = 4,502 Hz

Antwoord

f_n = 4,502 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design