Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 0,75 kW die met 2900 rpm draait, drijft een rondsel met 18 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 50 tanden. Het tandwielpaar heeft een rendement van 97%. Bereken het koppel T₁ op de motoras.

P = 0,75 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 18N₂ = 50η = 97%

T₁ = N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (12 tanden) op de ingaande as, die met 2900 rpm draait, tandwiel B (16 tanden) aan. Tandwiel C (36 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (60 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 2900 rpmA = 12B = 16C = 36D = 60

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Bij een torsieproef wordt een massief proefstuk met diameter 20 mm getordeerd door een wringend moment van 50 N·m. De twee uiteinden van een meetlengte van 400 mm verdraaien 2,81° ten opzichte van elkaar (het materiaal is nog elastisch). Vind de glijdingsmodulus G van het materiaal.

T = 50 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 2,81°

G = GPa

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 50 kW overbrengen bij 1000 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 80 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 50 kWN = 1000 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 30 MPa, σᵧ = −50 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Vind de hoek θ_s, tussen −90° en 90°, van de x-as tot de normaal van het vlak waarop de schuifspanning haar maximale positieve waarde +R heeft (schuifspanning positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 30 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een massieve as met diameter 25 mm draagt een axiale trekkracht van 150 kN samen met een wringend moment van 100 N·m. Aan het oppervlak van de as, vind de grootste hoofdspanning σ₁.

d = 25 mmF = 150 kNT = 100 N·m

σ₁ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van aluminium onder de axiale belasting.

P = 55 kNd = 30 mmL = 2 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 70 kNdeel 1: Ø35 mm, 1 m, koper (E = 117 GPa)deel 2: Ø12 mm, 0,5 m, messing (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (staal)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 30 mm 3 perioden later een piek van 17 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 30 mmx₃ = 17 mmn = 3

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 50 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 50 kN/m en de onderste k₂ = 20 kN/m. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 50 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T₁ = 2,47 N·m

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Motorkoppel

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 750/303,7 = 2,47 N·m

Antwoord

T₁ = 2,47 N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 1305 rpm

Eerste trap

n_B = 2900·12/16 = 2175 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 2175·36/60 = 1305 rpm

Antwoord

n_out = 1305 rpm

totale overbrengingsverhouding = 2,222 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: G = 25,96 GPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment en hoek

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 2,81·π/180 = 0,04904 rad

Glijdingsmodulus

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·400/(15708·0,04904) = 25961 MPa

G = 25,96 GPa

Antwoord

G = 25,96 GPa

Ter vergelijking: staal ≈ 80 GPa, messing ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 31,21 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 50000/104,7 = 477,5 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·477465/(π·80)) = 31,21 mm

Antwoord

d = 31,21 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_s = −26,57 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Op de cirkel van Mohr ligt het bovenste punt (+R) 90° van het hoofdpunt σ₁; op het element is dat 45°.

cos 2θ_s = 30/50 = 0,6, sin 2θ_s = −40/50 = −0,8

2θ_s = atan2(−40, 30) = −53,13°

Hoek op het element

θ_s = −26,57°

controle: θ_s − θ_p = −26,57 − 18,43 = −45°

Antwoord

θ_s = −26,57°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ₁ = 309 MPa

Spanningen aan het oppervlak

σ = F/A = 150000/(π·25²/4) = 150000/490,9 = 305,6 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·25³) = 32,59 MPa

Cirkel van Mohr

C = σ/2 = 152,8 MPa

R = √(152,8² + 32,59²) = 156,2 MPa

σ₁ = C + R = 309 MPa

σ₂ = C − R = −3,438 MPa

Antwoord

σ₁ = 309 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 2,223 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 55·1000/706,9 = 77,81 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 77,81/70000 = 0,001112 = 1112 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,001112·2000 mm = 2,223 mm

Antwoord

δ = 2,223 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 618,9 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 72,76 MPa

σ₂ = 618,9 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 618,9 MPa

Antwoord

σ_max = 618,9 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 62,01 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2000² = 62013 N = 62,01 kN

Antwoord

P_cr = 62,01 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 157,4 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/12,5 = 112

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/112² = 157,4 MPa

Antwoord

σ_cr = 157,4 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,03012

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/3)·ln(30/17) = 0,1893

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1893/√(39,48 + 0,03585) = 0,03012

Antwoord

ζ = 0,03012

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 2,69 Hz

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/50 + 1/20 → k_eq = 50·20/(50 + 20) = 14,29 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(14286/50) = 16,9 rad/s

f_n = 16,9/(2π) = 2,69 Hz

Antwoord

f_n = 2,69 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design