Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 11 kW die met 960 rpm draait, drijft een rondsel aan met 20 tanden en een module van 2 mm. Vind de tangentiële kracht F_t op de tanden van het rondsel.

P = 11 kWn = 960 rpmN₁ = 20m = 2 mm

F_t = N

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (16 tanden) op de ingaande as, die met 3000 rpm draait, tandwiel B (25 tanden) aan. Tandwiel C (40 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (50 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 3000 rpmA = 16B = 25C = 40D = 50

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een getrapte massieve as van aluminium is ingeklemd in A. Deel AB heeft diameter 75 mm en lengte 0,5 m; deel BC heeft diameter 60 mm en lengte 2,5 m. Op het vrije uiteinde C werkt een wringend moment van 200 N·m. Vind de wringhoek φ_C van uiteinde C, in graden.

T = 200 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 60 mm, L₂ = 2,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as moet 100 kW overbrengen bij 3000 rpm. De binnendiameter moet 0,75 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 75 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

P = 100 kWN = 3000 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = −80 MPa, σᵧ = 70 MPa en τₓᵧ = 40 MPa, met σ_z = 0. Vind de absoluut maximale schuifspanning τ_abs in het punt (alle vlakken in drie dimensies bekeken).

σ_x = −80 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 50 MPa, σᵧ = 50 MPa en τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). Vind de vergelijkingsspanning volgens Von Mises σ_vM.

σ_x = 50 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 60 MPa

σ_vM = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 20 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van brons (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 50 mm, E = 110 GPa). Beide zijn 400 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 250 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 250 kNstaaf: Ø20 mm, E = 200 GPabuis: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 110 kNdeel 1: Ø40 mm, 0,5 m, staal (E = 200 GPa)deel 2: Ø20 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (staal)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 40 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 4 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 320 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.

m = 40 kgk = 4 kN/mc = 320 N·s/m

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 100 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 80 kN/m en de onderste k₂ = 60 kN/m. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 100 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: F_t = 5471 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Koppel op het rondsel

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T = P/ω = 11000/100,5 = 109,4 N·m

Steekcirkeldiameter

d = m·N = 2·20 = 40 mm

Tangentiële kracht

F_t = 2T/d = 2·109,4/0,04 = 5471 N

Antwoord

F_t = 5471 N

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 1536 rpm

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Eerste trap

n_B = 3000·16/25 = 1920 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 1920·40/50 = 1536 rpm

Antwoord

n_out = 1536 rpm

totale overbrengingsverhouding = 1,953 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 0,9369 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polaire traagheidsmomenten

J₁ = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

Wringhoek van elk deel

T = 200 N·m = 200000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 200000·500/(26000·3,106 × 10⁶) = 0,001238 rad

φ_BC = 200000·2500/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,01511 rad

Totale wringhoek

φ_C = 0,001238 + 0,01511 = 0,01635 rad = 0,9369°

Antwoord

φ_C = 0,9369°

4.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 31,62 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 100000/314,2 = 318,3 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 318,3 N·m = 318310 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·318310/(π·75·0,6836)) = 31,62 mm

d_i = 0,75·31,62 = 23,72 mm

Antwoord

d_o = 31,62 mm

Een massieve as zou d = 27,86 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_abs = 85 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. In drie dimensies is de absoluut maximale schuifspanning (σ_max − σ_min)/2 over alle drie hoofdspanningen; in een vlakke spanningstoestand is de derde nul.

Hoofdspanningen in het vlak

C = −5 MPa, R = √((−75)² + 40²) = 85 MPa

σ₁ = 80 MPa, σ₂ = −90 MPa, σ_z = 0

Grootste van de drie cirkels

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(170, 80, 90)/2 = 85 MPa

Antwoord

τ_abs = 85 MPa

Hier hebben σ₁ en σ₂ tegengestelde tekens, dus het maximum in het vlak R is ook het absolute maximum.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_vM = 115,3 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 50 MPa, R = 60 MPa

σ₁ = 110 MPa, σ₂ = −10 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(110² − 110·(−10) + (−10)²) = 115,3 MPa

Antwoord

σ_vM = 115,3 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,09167 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·9346 = 1,091 × 10⁹ N

Verkorting

δ = 250000·400/1,091 × 10⁹ = 0,09167 mm

Antwoord

δ = 0,09167 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 350,1 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 87,54 MPa

σ₂ = 350,1 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 350,1 MPa

Antwoord

σ_max = 350,1 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 94,2 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1500² = 94203 N = 94,2 kN

Antwoord

P_cr = 94,2 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 36,26 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/7,5 = 233,3

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/233,3² = 36,26 MPa

Antwoord

σ_cr = 36,26 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,4

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische demping

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(4000·40) = 800 N·s/m

Dempingsverhouding

ζ = c/c_c = 320/800 = 0,4

Antwoord

ζ = 0,4

ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 2,947 Hz

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/80 + 1/60 → k_eq = 80·60/(80 + 60) = 34,29 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(34286/100) = 18,52 rad/s

f_n = 18,52/(2π) = 2,947 Hz

Antwoord

f_n = 2,947 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design