Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een schijf van 100 mm met 2880 rpm drijft via een riem met 4 % slip een schijf van 400 mm aan. Bepaal het toerental n₂ van de aangedreven schijf.

n₁ = 2880 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 400 mms = 4 %

n₂ = rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een open riem verbindt een schijf van 200 mm en een schijf van 450 mm waarvan de hartafstand 1200 mm is. Bepaal de omspanningshoek θ op de kleinere schijf, in graden.

d₁ = 200 mmd₂ = 450 mmC = 1200 mm

θ = °

3.Torsie van assenGemiddeld

Bij een torsieproef wordt een massief proefstuk met diameter 12 mm getordeerd door een wringend moment van 20 N·m. De twee uiteinden van een meetlengte van 250 mm verdraaien 5,41° ten opzichte van elkaar (het materiaal is nog elastisch). Vind de glijdingsmodulus G van het materiaal.

T = 20 N·md = 12 mmL = 250 mmφ = 5,41°

G = GPa

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van aluminium met diameter 50 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 500 N·m werkt in B, op 2,5 m van A, en een wringend moment van 1000 N·m in dezelfde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 1 m verder. Vind de grootte van de wringhoek φ_C van uiteinde C, in graden.

d = 50 mmT_B = 500 N·mT_C = 1000 N·mAB = 2,5 mBC = 1 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 130 MPa, σᵧ = −80 MPa en τₓᵧ = −50 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 130 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −20 MPa, σᵧ = 100 MPa en τₓᵧ = −60 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 50° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = −20 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van koper onder de axiale belasting.

P = 105 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 40 mm, lengte 500 mm, E = 200 GPa) en een segment van koper (diameter 50 mm, lengte 400 mm, E = 120 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 100 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPasegment 2: koper, Ø50 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 145 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 145 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 2 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 100 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 70 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.

m = 2 kgk = 100 kN/mc = 70 N·s/m

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 50 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 10 kN/m en k₂ = 5 kN/m. De massa blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 50 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n₂ = 691,2 rpm

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Toerental zonder slip

2880·100/400 = 720 rpm

Met slip

n₂ = 720·0,96 = 691,2 rpm

Antwoord

n₂ = 691,2 rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: θ = 168 °

Riemhoek

asin(0,1042) = 5,979°

Omspanningshoek

θ = 180 − 2·5,979 = 168°

Antwoord

θ = 168°

3.Torsie van assen

Antwoord: G = 26,01 GPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment en hoek

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 5,41·π/180 = 0,09442 rad

Glijdingsmodulus

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·250/(2036·0,09442) = 26012 MPa

G = 26,01 GPa

Antwoord

G = 26,01 GPa

Ter vergelijking: staal ≈ 80 GPa, messing ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 17,06 °

Inwendige wringende momenten

Draaizin van T_C positief genomen.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C + T_B = 1000 + 500 = 1500 N·m

Wringhoek van elk deel

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 1,5 × 10⁶·2500/(26000·613592) = 0,2351 rad

φ_BC = 1 × 10⁶·1000/(26000·613592) = 0,06268 rad

Wringhoek van uiteinde C

φ_C = 0,2351 + 0,06268 = 0,2977 rad → |φ_C| = 17,06°

Antwoord

φ_C = 17,06°

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 116,3 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((130 − −80)/2)² + −50²) = 116,3 MPa

Antwoord

τ_max = 116,3 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = −8,67 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 40 + −60·−0,1736 + −60·0,9848 = −8,67 MPa

Antwoord

σ_θ = −8,67 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 7,142 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 105·1000/314,2 = 334,2 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for koper = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 334,2/117000 = 0,002857 = 2857 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,002857·2500 mm = 7,142 mm

Antwoord

δ = 7,142 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 27,48 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 120000·1963/400 = 589049 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 100000·589049/1,092 × 10⁶ = 53957 N

Spanning

σ₂ = 53957/1963 = 27,48 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 27,48 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 23,32 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/2000² = 23317 N = 23,32 kN

Antwoord

P_cr = 23,32 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 79,73 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 3·145000 = 435000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·435000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 79,73 mm

Antwoord

d = 79,73 mm

Controle: de slankheid KL/r is 150,5, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,07826

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische demping

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·2) = 894,4 N·s/m

Dempingsverhouding

ζ = c/c_c = 70/894,4 = 0,07826

Antwoord

ζ = 0,07826

ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 2,757 Hz

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 5 = 15 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(15000/50) = 17,32 rad/s

f_n = 17,32/(2π) = 2,757 Hz

Antwoord

f_n = 2,757 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design