Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 11 kW die met 2900 rpm draait, drijft een rondsel met 15 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 72 tanden. Verwaarloos verliezen. Bereken het uitgaande koppel T₂ op de as van het tandwiel.

P = 11 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 15N₂ = 72η = 100%

T₂ = N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een open riem verbindt een aandrijvende schijf van 100 mm met 1440 rpm met een schijf van 315 mm; de hartafstand is 800 mm. De wrijvingscoëfficiënt is 0,3 en de spanning in het trekkende deel mag niet meer dan 1000 N zijn. Bepaal het grootste vermogen P dat de riem kan overbrengen zonder te slippen, in kW (verwaarloos centrifugaaleffecten).

d₁ = 100 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 315 mmC = 800 mmμ = 0,3T₁ = 1000 N

P = kW

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing met een lengte van 0,5 m draagt een wringend moment van 500 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 2°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.

T = 500 N·mL = 0,5 mG = 39 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as moet 50 kW overbrengen bij 500 rpm. De binnendiameter moet 0,6 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 75 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

P = 50 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = −80 MPa, σᵧ = −40 MPa en τₓᵧ = 60 MPa, met σ_z = 0. Vind de absoluut maximale schuifspanning τ_abs in het punt (alle vlakken in drie dimensies bekeken).

σ_x = −80 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −70 MPa, σᵧ = −20 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τ_θ op een vlak waarvan de normaal 45° met de klok mee gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = −70 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 40 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van messing, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 45 kNd = 16 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 120 kNdeel 1: Ø40 mm, 0,5 m, koper (E = 117 GPa)deel 2: Ø12 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Hij moet 40 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2,5 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 40 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 40 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 10 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 100 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.

m = 40 kgk = 10 kN/mc = 100 N·s/m

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 25 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 10 kN/m en k₂ = 50 kN/m. De massa blijft horizontaal. Vind de vervangende stijfheid k_eq van het verensysteem in kN/m.

m = 25 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T₂ = 173,9 N·m

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Motorkoppel

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/303,7 = 36,22 N·m

Uitgaand koppel

T₂ = 36,22·72/15·1 = 173,9 N·m

Antwoord

T₂ = 173,9 N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: P = 4,354 kW

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Omspanningshoek

θ = 2,872 rad

Spanning in het slappe deel

e^μθ = e^0,8616 = 2,367, T₂ = 1000/2,367 = 422,5 N

Vermogen

P = (1000 − 422,5)·7,54 = 4,354 kW

Antwoord

P = 4,354 kW

3.Torsie van assen

Antwoord: d = 36,98 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Benodigd polair traagheidsmoment

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 500000·500/(39000·0,03491) = 183640 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 36,98 mm

Antwoord

d = 36,98 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

4.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 42,08 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 50000/52,36 = 954,9 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·75·0,8704)) = 42,08 mm

d_i = 0,6·42,08 = 25,25 mm

Antwoord

d_o = 42,08 mm

Een massieve as zou d = 40,18 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_abs = 63,25 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. In drie dimensies is de absoluut maximale schuifspanning (σ_max − σ_min)/2 over alle drie hoofdspanningen; in een vlakke spanningstoestand is de derde nul.

Hoofdspanningen in het vlak

C = −60 MPa, R = √((−20)² + 60²) = 63,25 MPa

σ₁ = 3,246 MPa, σ₂ = −123,2 MPa, σ_z = 0

Grootste van de drie cirkels

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(126,5, 3,246, 123,2)/2 = 63,25 MPa

Antwoord

τ_abs = 63,25 MPa

Hier hebben σ₁ en σ₂ tegengestelde tekens, dus het maximum in het vlak R is ook het absolute maximum.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_θ = −25 MPa

Transformatieformule

τ_θ = −−25·−1 + 40·0 = −25 MPa

Antwoord

τ_θ = −25 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 2238 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 45·1000/201,1 = 223,8 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 223,8/100000 = 0,002238 = 2238 µε

Antwoord

ε = 2238 µε

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 23,14 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 95,49 MPa

σ₂ = 1061 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 95,49·500/117000 = 0,4081 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 1061·1500/70000 = 22,74 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 23,14 mm

Antwoord

δ = 23,14 mm

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 135,7 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1250² = 135652 N = 135,7 kN

Antwoord

P_cr = 135,7 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 31,87 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2,5·40000 = 100000 N

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 31,87 mm

Antwoord

d = 31,87 mm

Controle: de slankheid KL/r is 125,5, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,07906

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische demping

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(10000·40) = 1265 N·s/m

Dempingsverhouding

ζ = c/c_c = 100/1265 = 0,07906

Antwoord

ζ = 0,07906

ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.

12.Mechanische trillingen

Antwoord: k_eq = 60 kN/m

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 50 = 60 kN/m

Antwoord

k_eq = 60 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design