Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 1,1 kW met 960 rpm drijft een worm met 2 gang(en) aan. Het wormwiel heeft 36 tanden en de overbrenging heeft een rendement van 50%. Vind het uitgaande koppel T_w op de as van het wiel.

z = 2N_w = 36n = 960 rpmP = 1,1 kWη = 50%

T_w = N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een open riem verbindt een aandrijvende schijf van 160 mm met 720 rpm met een schijf van 250 mm; de hartafstand is 600 mm. De wrijvingscoëfficiënt is 0,3 en de spanning in het trekkende deel mag niet meer dan 2000 N zijn. Bepaal het grootste vermogen P dat de riem kan overbrengen zonder te slippen, in kW (verwaarloos centrifugaaleffecten).

d₁ = 160 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 250 mmC = 600 mmμ = 0,3T₁ = 2000 N

P = kW

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 400 N·md = 25 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 50 kW over bij 750 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 50 kWN = 750 rpmd_o = 40 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 40 MPa, σᵧ = 90 MPa en τₓᵧ = −30 MPa (trek positief). Vind de hoek θ_s, tussen −90° en 90°, van de x-as tot de normaal van het vlak waarop de schuifspanning haar maximale positieve waarde +R heeft (schuifspanning positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 40 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_s = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = −80 MPa, σᵧ = 110 MPa en τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0). Vind de vergelijkingsspanning volgens Von Mises σ_vM.

σ_x = −80 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −40 MPa

σ_vM = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van messing, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 45 kNd = 20 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 85 kNdeel 1: Ø25 mm, 1,5 m, staal (E = 200 GPa)deel 2: Ø12 mm, 1,5 m, staal (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 12 kg aan een veer met een stijfheid van 5 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,4 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie f_d van de vrije trilling in Hz.

m = 12 kgk = 5 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 25 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 5 kN/m en k₂ = 15 kN/m. De massa blijft horizontaal. Vind de vervangende stijfheid k_eq van het verensysteem in kN/m.

m = 25 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 15 kN/m

k_eq = kN/m

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T_w = 98,48 N·m

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Toerental van het wiel

n_w = n·z/N_w = 960·2/36 = 53,33 rpm

Uitgaand koppel

ω_w = 2π·53,33/60 = 5,585 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,5·1100/5,585 = 98,48 N·m

Antwoord

T_w = 98,48 N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: P = 7,146 kW

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Omspanningshoek

θ = 2,991 rad

Spanning in het slappe deel

e^μθ = e^0,8974 = 2,453, T₂ = 2000/2,453 = 815,2 N

Vermogen

P = (2000 − 815,2)·6,032 = 7,146 kW

Antwoord

P = 7,146 kW

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 7,47 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(80000·38350) = 0,1304 rad

φ = 0,1304·180/π = 7,47°

Antwoord

φ = 7,47°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 74,11 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 50000/78,54 = 636,6 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·20/171806 = 74,11 MPa

Antwoord

τ_max = 74,11 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_s = 70,1 °

Hoek op de cirkel

Op de cirkel van Mohr ligt het bovenste punt (+R) 90° van het hoofdpunt σ₁; op het element is dat 45°.

cos 2θ_s = −30/39,05 = −0,7682, sin 2θ_s = −(−25)/39,05 = 0,6402

2θ_s = atan2(25, −30) = 140,2°

Hoek op het element

θ_s = 70,1°

controle: θ_s − θ_p = 70,1 − (−64,9) = 135°

Antwoord

θ_s = 70,1°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_vM = 179,2 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 15 MPa, R = 103,1 MPa

σ₁ = 118,1 MPa, σ₂ = −88,08 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(118,1² − 118,1·(−88,08) + (−88,08)²) = 179,2 MPa

Antwoord

σ_vM = 179,2 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 1432 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 45·1000/314,2 = 143,2 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 143,2/100000 = 0,001432 = 1432 µε

Antwoord

ε = 1432 µε

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 6,935 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 173,2 MPa

σ₂ = 751,6 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 173,2·1500/200000 = 1,299 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 751,6·1500/200000 = 5,637 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,935 mm

Antwoord

δ = 6,935 mm

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 70,32 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·2500 = 2500 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2500² = 70322 N = 70,32 kN

Antwoord

P_cr = 70,32 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 4,318 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/10 = 400

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Antwoord

σ_cr = 4,318 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: f_d = 2,978 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ω_n = √(5000/12) = 20,41 rad/s

f_n = 20,41/(2π) = 3,249 Hz

Gedempte eigenfrequentie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,249·√(1 − 0,4²) = 2,978 Hz

Antwoord

f_d = 2,978 Hz

12.Mechanische trillingen

Antwoord: k_eq = 20 kN/m

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 15 = 20 kN/m

Antwoord

k_eq = 20 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design