Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 1,1 kW die met 2900 rpm draait, drijft een rondsel met 30 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 60 tanden. Het tandwielpaar heeft een rendement van 98%. Bereken het koppel T₁ op de motoras.

P = 1,1 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 30N₂ = 60η = 98%

T₁ = N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (18 tanden) op de ingaande as, die met 1500 rpm draait, tandwiel B (30 tanden) aan. Tandwiel C (18 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (25 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 1500 rpmA = 18B = 30C = 18D = 25

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Bij een torsieproef wordt een massief proefstuk met diameter 15 mm getordeerd door een wringend moment van 100 N·m. De twee uiteinden van een meetlengte van 300 mm verdraaien 8,87° ten opzichte van elkaar (het materiaal is nog elastisch). Vind de glijdingsmodulus G van het materiaal.

T = 100 N·md = 15 mmL = 300 mmφ = 8,87°

G = GPa

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 20 kW over bij 500 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 20 kWN = 500 rpmd_o = 80 mmd_i = 56 mm

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 10 MPa, σᵧ = 20 MPa en τₓᵧ = 50 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = 10 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = −40 MPa, σᵧ = 10 MPa en τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). Vind de vergelijkingsspanning volgens Von Mises σ_vM.

σ_x = −40 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 20 MPa

σ_vM = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van koper, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 85 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 70 kNdeel 1: Ø30 mm, 1 m, messing (E = 100 GPa)deel 2: Ø12 mm, 0,5 m, koper (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (staal)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Hij moet 115 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 115 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 40 mm 4 perioden later een piek van 3,2 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 40 mmx₄ = 3,2 mmn = 4

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 20 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 40 kN/m en de onderste k₂ = 10 kN/m. Vind de vervangende stijfheid k_eq van het verensysteem in kN/m.

m = 20 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T₁ = 3,622 N·m

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Motorkoppel

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/303,7 = 3,622 N·m

Antwoord

T₁ = 3,622 N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 648 rpm

Eerste trap

n_B = 1500·18/30 = 900 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 900·18/25 = 648 rpm

Antwoord

n_out = 648 rpm

totale overbrengingsverhouding = 2,315 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: G = 38,99 GPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment en hoek

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 8,87·π/180 = 0,1548 rad

Glijdingsmodulus

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·300/(4970·0,1548) = 38990 MPa

G = 38,99 GPa

Antwoord

G = 38,99 GPa

Ter vergelijking: staal ≈ 80 GPa, messing ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 5 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(80⁴ − 56⁴)/32 = 3,056 × 10⁶ mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 381972·40/3,056 × 10⁶ = 5 MPa

Antwoord

τ_max = 5 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = 47,86 °

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·50, 10 − 20) = 95,71°

Hoek op het element

θ_p = 47,86°

Antwoord

θ_p = 47,86°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_vM = 57,45 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = −15 MPa, R = 32,02 MPa

σ₁ = 17,02 MPa, σ₂ = −47,02 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(17,02² − 17,02·(−47,02) + (−47,02)²) = 57,45 MPa

Antwoord

σ_vM = 57,45 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 9250 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 85·1000/78,54 = 1082 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for koper = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1082/117000 = 0,00925 = 9250 µε

Antwoord

ε = 9250 µε

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 3,635 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 99,03 MPa

σ₂ = 618,9 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 99,03·1000/100000 = 0,9903 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 618,9·500/117000 = 2,645 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,635 mm

Antwoord

δ = 3,635 mm

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 506,2 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2800² = 506225 N = 506,2 kN

Antwoord

P_cr = 506,2 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 81,84 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 3·115000 = 345000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·345000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 81,84 mm

Antwoord

d = 81,84 mm

Controle: de slankheid KL/r is 102,6, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,09999

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/4)·ln(40/3,2) = 0,6314

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6314/√(39,48 + 0,3987) = 0,09999

Antwoord

ζ = 0,09999

12.Mechanische trillingen

Antwoord: k_eq = 8 kN/m

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/40 + 1/10 → k_eq = 40·10/(40 + 10) = 8 kN/m

Antwoord

k_eq = 8 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design