Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 2,2 kW die met 1440 rpm draait, drijft een rondsel aan met 24 tanden en een module van 2,5 mm. Vind de tangentiële kracht F_t op de tanden van het rondsel.

P = 2,2 kWn = 1440 rpmN₁ = 24m = 2,5 mm

F_t = N

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een motor van 11 kW met 1440 rpm drijft tandwiel A (15 tanden) aan, dat ingrijpt in tandwiel B (45 tanden). Tandwiel C (15 tanden) op dezelfde as als B drijft tandwiel D (60 tanden) op de uitgaande as aan. Elke tandwielingrijping heeft een rendement van 95%. Vind het uitgaande koppel T_out.

P = 11 kWn_in = 1440 rpmA = 15B = 45C = 15D = 60η_mesh = 95%

T_out = N·m

3.Torsie van assenGemiddeld

Bij een torsieproef wordt een massief proefstuk met diameter 12 mm getordeerd door een wringend moment van 75 N·m. De twee uiteinden van een meetlengte van 200 mm verdraaien 10,82° ten opzichte van elkaar (het materiaal is nog elastisch). Vind de glijdingsmodulus G van het materiaal.

T = 75 N·md = 12 mmL = 200 mmφ = 10,82°

G = GPa

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as moet 10 kW overbrengen bij 1800 rpm. De binnendiameter moet 0,8 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 80 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

P = 10 kWN = 1800 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = −70 MPa, σᵧ = 100 MPa en τₓᵧ = −60 MPa (trek positief). Het element wordt 35° linksom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = −70 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 35°

σ_y′ = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 150 MPa, σᵧ = −40 MPa en τₓᵧ = −50 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 40° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 150 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van aluminium onder de axiale belasting.

P = 120 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 55 kNdeel 1: Ø40 mm, 1,5 m, staal (E = 200 GPa)deel 2: Ø16 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 120 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 120 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 250 kg aan een veer met een stijfheid van 100 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,35 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie f_d van de vrije trilling in Hz.

m = 250 kgk = 100 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 50 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 50 kN/m en de onderste k₂ = 50 kN/m. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 50 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: F_t = 486,3 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Koppel op het rondsel

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 2200/150,8 = 14,59 N·m

Steekcirkeldiameter

d = m·N = 2,5·24 = 60 mm

Tangentiële kracht

F_t = 2T/d = 2·14,59/0,06 = 486,3 N

Antwoord

F_t = 486,3 N

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T_out = 790 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Uitgaand toerental

n_out = 1440·(15/45)·(15/60) = 120 rpm

ω_out = 2π·120/60 = 12,57 rad/s

Uitgaand vermogen en koppel

P_out = 11000·0,95² = 9928 W

T_out = P_out/ω_out = 9928/12,57 = 790 N·m

Antwoord

T_out = 790 N·m

3.Torsie van assen

Antwoord: G = 39,02 GPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment en hoek

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 10,82·π/180 = 0,1888 rad

Glijdingsmodulus

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·200/(2036·0,1888) = 39018 MPa

G = 39,02 GPa

Antwoord

G = 39,02 GPa

Ter vergelijking: staal ≈ 80 GPa, messing ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 17,88 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 10000/188,5 = 53,05 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 53,05 N·m = 53052 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·53052/(π·80·0,5904)) = 17,88 mm

d_i = 0,8·17,88 = 14,31 mm

Antwoord

d_o = 17,88 mm

Een massieve as zou d = 15 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = 100,5 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = 15 − (−85)·0,342 − (−60)·0,9397 = 100,5 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = −70,45 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 30 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = 100,5 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 22,26 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 55 + 95·0,1736 + −50·0,9848 = 22,26 MPa

Antwoord

σ_θ = 22,26 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 8,731 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 120·1000/490,9 = 244,5 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 244,5/70000 = 0,003492 = 3492 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,003492·2500 mm = 8,731 mm

Antwoord

δ = 8,731 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 273,5 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 43,77 MPa

σ₂ = 273,5 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 273,5 MPa

Antwoord

σ_max = 273,5 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 23,03 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·1000 = 1000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/1000² = 23029 N = 23,03 kN

Antwoord

P_cr = 23,03 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 103,2 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·120000 = 240000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 103,2 mm

Antwoord

d = 103,2 mm

Controle: de slankheid KL/r is 155,1, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: f_d = 2,982 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ω_n = √(100000/250) = 20 rad/s

f_n = 20/(2π) = 3,183 Hz

Gedempte eigenfrequentie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,183·√(1 − 0,35²) = 2,982 Hz

Antwoord

f_d = 2,982 Hz

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 3,559 Hz

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/50 + 1/50 → k_eq = 50·50/(50 + 50) = 25 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(25000/50) = 22,36 rad/s

f_n = 22,36/(2π) = 3,559 Hz

Antwoord

f_n = 3,559 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design