Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen
n1·N1 = n2·N2
Koppel
T2 = T1·(N2/N1)·η
Vermogen
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging
totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning
τ = T·r/J
Massieve as
J = πd⁴/32
Holle as
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek
φ = TL/(GJ)
Vermogen
P = T·ω = 2πnT/60

Methode

  1. Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
  2. Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
  3. Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
  4. Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt
C = (σx + σy)/2
Straal
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Hoofdspanningen
σ1,2 = C ± R
Hoofdrichting
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Schuin vlak
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Methode

  1. Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
  4. Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning
σ = F/A
Rek
ε = ΔL/L
Wet van Hooke
σ = E·ε
Verlenging
ΔL = FL/(EA)
Thermische rek
εT = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor
K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning
σcr = Pcr/A
Slankheid
λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Uit de statische doorbuiging
ωn = √(g/δst)
Kritische demping
cc = 2√(km) = 2mωn
Dempingsverhouding
ζ = c/cc
Gedempte eigenfrequentie
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel
k = k1 + k2
Veren in serie
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld
N1​ = 15N2​ = 40

Een motor van 4 kW die met 960 rpm draait, drijft een rondsel met 15 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 40 tanden. Het tandwielpaar heeft een rendement van 95%. Bereken het uitgaande koppel T2 op de as van het tandwiel.

P = 4 kWn1 = 960 rpmN1 = 15N2 = 40η = 95%
T2 = N·m
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk
d1​ = 150 mmd2​ = 450 mm720 rpmC = 1000 mmT1​ = 1000 NT2​P = ?

Een open riem verbindt een aandrijvende schijf van 150 mm met 720 rpm met een schijf van 450 mm; de hartafstand is 1000 mm. De wrijvingscoëfficiënt is 0,35 en de spanning in het trekkende deel mag niet meer dan 1000 N zijn. Bepaal het grootste vermogen P dat de riem kan overbrengen zonder te slippen, in kW (verwaarloos centrifugaaleffecten).

d1 = 150 mmn1 = 720 rpmd2 = 450 mmC = 1000 mmμ = 0,35T1 = 1000 N
P = kW
3.Torsie van assenGemiddeld
T = 1000 N·md = 50 mmL = 3 mφ = ?

Een massieve as van aluminium is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 3 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsie van assenMoeilijk
Td = ?

Een massieve as moet 100 kW overbrengen bij 1450 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 50 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 100 kWN = 1450 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld
σx​ = 80σy​ = −80τxy​ = −10MPa

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 80 MPa, σᵧ = −80 MPa en τₓᵧ = −10 MPa (trek positief). Bereken de hoek θp van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σx = 80 MPaσy = −80 MPaτxy = −10 MPa
θp = °
6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk
25°D = 400 mm, t = 8 mm, p = 1,2 MPap

Een dunwandige cilindrische tank met binnendiameter 400 mm en wanddikte 8 mm bevat gas met een overdruk van 1,2 MPa. Hij is gemaakt van plaat die gelast is langs een spiraalvormige naad onder 25° met de as van de cilinder. Vind de normaalspanning σn die dwars op de lasnaad werkt.

D = 400 mmt = 8 mmp = 1,2 MPaα = 25°
σn = MPa
7.Axiale spanning en rekGemiddeld
Ø 20 mmMessing0,5 mP = 15 kN

Vind de verlenging δ van de staaf van messing onder de axiale belasting.

P = 15 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 100 GPa
δ = mm
8.Axiale spanning en rekMoeilijk
P = ?Ø2570 GPaØ80/60500 mm

Een staaf van staal (diameter 25 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 200 MPa) zit in een buis van aluminium (buitendiameter 80 mm, binnendiameter 60 mm, E = 70 GPa, toelaatbare spanning 60 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting Pmax.

staaf: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPabuis: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
9.Knik van kolommenGemiddeld
PL = 3 md = 50 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (staal)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Knik van kolommenMoeilijk
PL = 6 md = 80 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σcr met de formule van Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (staal)d = 80 mm
σcr = MPa
11.Mechanische trillingenGemiddeld
k = 25 kN/mc = 90 N·s/mm = 8 kg

Een massa van 8 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 25 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 90 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.

m = 8 kgk = 25 kN/mc = 90 N·s/m
ζ =
12.Mechanische trillingenMoeilijk
k1​ = 10k2​ = 60m = 10 kg

Een massa van 10 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 10 kN/m en de onderste k₂ = 60 kN/m. Vind de vervangende stijfheid keq van het verensysteem in kN/m.

m = 10 kgk1 = 10 kN/mk2 = 60 kN/m
keq = kN/m

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T2 = 100,8 N·m

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Motorkoppel

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 4000/100,5 = 39,79 N·m

Uitgaand koppel

T2 = 39,79·40/15·0,95 = 100,8 N·m

Antwoord

T2 = 100,8 N·m
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: P = 3,562 kW

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = eμθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Omspanningshoek

θ = 2,84 rad

Spanning in het slappe deel

eμθ = e0,9942 = 2,702, T₂ = 1000/2,702 = 370 N

Vermogen

P = (1000 − 370)·5,655 = 3,562 kW

Antwoord

P = 3,562 kW
3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 10,77 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·3000/(26000·613592) = 0,188 rad
φ = 0,188·180/π = 10,77°

Antwoord

φ = 10,77°
4.Torsie van assen

Antwoord: d = 40,63 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 100000/151,8 = 658,6 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·658572/(π·50)) = 40,63 mm

Antwoord

d = 40,63 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θp = −3,563 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

στxyCσ1​σ2​

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−10, 80 − −80) = −7,125°

Hoek op het element

θp = −3,563°

Antwoord

θp = −3,563°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σn = 27,32 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Dunwandige cilinder: tangentiële spanning σh = pr/t en axiale spanning σa = pr/(2t); dit zijn de hoofdspanningen in de wand.

Spanningen in de wand

r = 400/2 = 200 mm
σh = pr/t = 1,2·200/8 = 30 MPa
σa = pr/(2t) = 15 MPa

Transformeer naar de naad

Neem x langs de as (σa) en y in omtreksrichting (σh). De normaal van de naad maakt 90° − α met de as.

σn = 15·sin²25° + 30·cos²25° = 27,32 MPa

Antwoord

σn = 27,32 MPa
7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,2387 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 15·1000/314,2 = 47,75 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 47,75/100000 = 0,0004775 = 477,5 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,0004775·500 mm = 0,2387 mm

Antwoord

δ = 0,2387 mm
8.Axiale spanning en rek

Antwoord: Pmax = 216,1 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, Pi = P·EiAi/ΣEA, en σi = Ei·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·2199 = 2,521 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,001, 0,0008571) = 0,0008571 (aluminium)

Grootste belasting

Pmax = 0,0008571·2,521 × 10⁸ = 216097 N = 216,1 kN

Antwoord

Pmax = 216,1 kN
9.Knik van kolommen

Antwoord: Pcr = 67,29 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·3000 = 3000 mm

Kritieke belasting

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/3000² = 67288 N = 67,29 kN

Antwoord

Pcr = 67,29 kN
10.Knik van kolommen

Antwoord: σcr = 5,483 MPa

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·6000 = 12000 mm
KL/r = 12000/20 = 600

Kritieke spanning

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/600² = 5,483 MPa

Antwoord

σcr = 5,483 MPa
11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,1006

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische demping

cc = 2·√(k·m) = 2·√(25000·8) = 894,4 N·s/m

Dempingsverhouding

ζ = c/cc = 90/894,4 = 0,1006

Antwoord

ζ = 0,1006

ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.

12.Mechanische trillingen

Antwoord: keq = 8,571 kN/m

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/10 + 1/60 → keq = 10·60/(10 + 60) = 8,571 kN/m

Antwoord

keq = 8,571 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design