Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 15 kW die met 2900 rpm draait, drijft een rondsel met 15 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 80 tanden. Het tandwielpaar heeft een rendement van 97%. Bereken het koppel T₁ op de motoras.

P = 15 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 15N₂ = 80η = 97%

T₁ = N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een planetaire tandwielset heeft het zonnewiel 15 tanden en elk planeetwiel 15 tanden. De planeetdrager wordt vastgehouden en het zonnewiel wordt aangedreven met 3000 rpm. Vind het toerental n_r van het ringwiel (grootte).

N_s = 15N_p = 15n_s = 3000 rpm

n_r = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een getrapte massieve as van staal is ingeklemd in A. Deel AB heeft diameter 75 mm en lengte 2,5 m; deel BC heeft diameter 60 mm en lengte 1,2 m. Op het vrije uiteinde C werkt een wringend moment van 400 N·m. Vind de wringhoek φ_C van uiteinde C, in graden.

T = 400 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 2,5 md₂ = 60 mm, L₂ = 1,2 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as moet 100 kW overbrengen bij 1500 rpm. De binnendiameter moet 0,8 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 75 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

P = 100 kWN = 1500 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 30 MPa, σᵧ = 50 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Vind de hoek θ_s, tussen −90° en 90°, van de x-as tot de normaal van het vlak waarop de schuifspanning haar maximale positieve waarde +R heeft (schuifspanning positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 30 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −10 MPa, σᵧ = 20 MPa en τₓᵧ = 50 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τ_θ op een vlak waarvan de normaal 30° met de klok mee gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = −10 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 50 MPaθ = -30°

τ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van staal, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 115 kNd = 12 mmL = 1 mE = 200 GPa

ε = µε

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 25 mm, lengte 400 mm, E = 200 GPa) en een segment van brons (diameter 40 mm, lengte 200 mm, E = 110 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 80 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPasegment 2: brons, Ø40 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 135 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 135 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 40 mm 3 perioden later een piek van 12,9 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 40 mmx₃ = 12,9 mmn = 3

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 100 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 10 kN/m en k₂ = 100 kN/m. De massa blijft horizontaal. Vind de vervangende stijfheid k_eq van het verensysteem in kN/m.

m = 100 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 100 kN/m

k_eq = kN/m

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T₁ = 49,39 N·m

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Motorkoppel

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/303,7 = 49,39 N·m

Antwoord

T₁ = 49,39 N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_r = 1000 rpm

Planetaire tandwielsets: de toerentallen van zonnewiel, ringwiel en planeetdrager hangen samen via de vergelijking van Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: gezien vanaf de planeetdrager is de set een gewone overbrenging met de planeetwielen als tussenwielen. Als je één deel vastzet, wordt de set een vertraging met één vaste verhouding.

Tanden van het ringwiel

N_r = N_s + 2·N_p = 15 + 2·15 = 45

Vergelijking van Willis met vaste planeetdrager

Met n_c = 0 drijft het zonnewiel het ringwiel aan via de planeetwielen, die als tussenwielen werken.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −3000·15/45 = −1000 rpm

|n_r| = 1000 rpm

Antwoord

n_r = 1000 rpm

Het ringwiel draait tegengesteld aan het zonnewiel.

3.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 0,5008 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polaire traagheidsmomenten

J₁ = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

Wringhoek van elk deel

T = 400 N·m = 400000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 400000·2500/(80000·3,106 × 10⁶) = 0,004024 rad

φ_BC = 400000·1200/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,004716 rad

Totale wringhoek

φ_C = 0,004024 + 0,004716 = 0,00874 rad = 0,5008°

Antwoord

φ_C = 0,5008°

4.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 41,84 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 636,6 N·m = 636620 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·636620/(π·75·0,5904)) = 41,84 mm

d_i = 0,8·41,84 = 33,47 mm

Antwoord

d_o = 41,84 mm

Een massieve as zou d = 35,1 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_s = 9,217 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Op de cirkel van Mohr ligt het bovenste punt (+R) 90° van het hoofdpunt σ₁; op het element is dat 45°.

cos 2θ_s = 30/31,62 = 0,9487, sin 2θ_s = −(−10)/31,62 = 0,3162

2θ_s = atan2(10, 30) = 18,43°

Hoek op het element

θ_s = 9,217°

controle: θ_s − θ_p = 9,217 − 54,22 = −45°

Antwoord

θ_s = 9,217°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_θ = 12,01 MPa

Transformatieformule

τ_θ = −−15·−0,866 + 50·0,5 = 12,01 MPa

Antwoord

τ_θ = 12,01 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 5084 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 115·1000/113,1 = 1017 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for staal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1017/200000 = 0,005084 = 5084 µε

Antwoord

ε = 5084 µε

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 46,98 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·490,9/400 = 245437 N/mm

k₂ = 110000·1257/200 = 691150 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 80000·691150/936587 = 59036 N

Spanning

σ₂ = 59036/1257 = 46,98 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 46,98 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 23,32 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/2000² = 23317 N = 23,32 kN

Antwoord

P_cr = 23,32 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 63,94 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 3·135000 = 405000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·405000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 63,94 mm

Antwoord

d = 63,94 mm

Controle: de slankheid KL/r is 125,1, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,05993

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/3)·ln(40/12,9) = 0,3772

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3772/√(39,48 + 0,1423) = 0,05993

Antwoord

ζ = 0,05993

12.Mechanische trillingen

Antwoord: k_eq = 110 kN/m

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 100 = 110 kN/m

Antwoord

k_eq = 110 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design