Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Twee evenwijdige assen liggen 108 mm uit elkaar. Ze moeten worden verbonden met een paar rechte tandwielen met een module van 2 mm en een vertraging van 3,5 : 1. Hoeveel tanden N₂ moet het tandwiel hebben?

a = 108 mmm = 2 mmi = 3,5

N₂ =

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een motor van 1,1 kW met 960 rpm drijft tandwiel A (24 tanden) aan, dat ingrijpt in tandwiel B (48 tanden). Tandwiel C (18 tanden) op dezelfde as als B drijft tandwiel D (72 tanden) op de uitgaande as aan. Elke tandwielingrijping heeft een rendement van 97%. Vind het uitgaande koppel T_out.

P = 1,1 kWn_in = 960 rpmA = 24B = 48C = 18D = 72η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as van staal (buitendiameter 30 mm, binnendiameter 21 mm, lengte 1 m) is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getordeerd door een wringend moment van 500 N·m. Vind de wringhoek φ in graden.

T = 500 N·md_o = 30 mmd_i = 21 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van staal met diameter 30 mm is aan beide uiteinden A en B ingeklemd in starre wanden. Een wringend moment van 250 N·m werkt in C, op 1,5 m van A en 3 m van B. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

d = 30 mmT₀ = 250 N·ma = 1,5 mb = 3 m

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = −10 MPa, σᵧ = −60 MPa en τₓᵧ = 10 MPa, met σ_z = 0. Vind de absoluut maximale schuifspanning τ_abs in het punt (alle vlakken in drie dimensies bekeken).

σ_x = −10 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 10 MPa, σᵧ = 0 MPa en τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). Het materiaal heeft een vloeigrens van 420 MPa. Vind de veiligheidsfactor n tegen vloeien volgens het criterium van Tresca (maximale schuifspanning).

σ_x = 10 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 60 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van koper onder de axiale belasting.

P = 55 kNd = 30 mmL = 1 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 110 kNdeel 1: Ø35 mm, 1 m, messing (E = 100 GPa)deel 2: Ø20 mm, 0,5 m, messing (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Hij moet 120 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 120 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 25 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 100 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 250 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.

m = 25 kgk = 100 kN/mc = 250 N·s/m

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 50 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 12 kN/m en de onderste k₂ = 25 kN/m. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 50 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: N₂ = 84

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Totaal aantal tanden

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·108/2 = 108

Verdeel volgens de verhouding

N₁ = 108/(1 + 3,5) = 24

N₂ = 3,5·24 = 84

Antwoord

N₂ = 84

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T_out = 82,36 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Uitgaand toerental

n_out = 960·(24/48)·(18/72) = 120 rpm

ω_out = 2π·120/60 = 12,57 rad/s

Uitgaand vermogen en koppel

P_out = 1100·0,97² = 1035 W

T_out = P_out/ω_out = 1035/12,57 = 82,36 N·m

Antwoord

T_out = 82,36 N·m

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 5,926 °

Polair traagheidsmoment

J = π(30⁴ − 21⁴)/32 = 60428 mm⁴

Wringhoek

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 500000·1000/(80000·60428) = 0,1034 rad

φ = 0,1034·180/π = 5,926°

Antwoord

φ = 5,926°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 31,44 MPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω. Als beide uiteinden zijn ingeklemd, geeft de statica alleen T_A + T_B = T₀; de tweede vergelijking is de vormveranderingsvoorwaarde (gelijke wringhoek van beide delen bij de belaste doorsnede).

Evenwicht en vormveranderingsvoorwaarde

T_A + T_B = 250

T_A·a = T_B·b

T_A = 250·3/4,5 = 166,7 N·m

T_B = 250·1,5/4,5 = 83,33 N·m

Maximale schuifspanning

Het grootste van de twee momenten is maatgevend (zelfde diameter).

τ_max = 16·166667/(π·30³) = 31,44 MPa

Antwoord

τ_max = 31,44 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_abs = 30,96 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. In drie dimensies is de absoluut maximale schuifspanning (σ_max − σ_min)/2 over alle drie hoofdspanningen; in een vlakke spanningstoestand is de derde nul.

Hoofdspanningen in het vlak

C = −35 MPa, R = √(25² + 10²) = 26,93 MPa

σ₁ = −8,074 MPa, σ₂ = −61,93 MPa, σ_z = 0

Grootste van de drie cirkels

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(53,85, 8,074, 61,93)/2 = 30,96 MPa

Antwoord

τ_abs = 30,96 MPa

Hier is de cirkel buiten het vlak maatgevend: het absolute maximum is groter dan het maximum in het vlak R.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: n = 3,488

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 5 MPa, R = 60,21 MPa

σ₁ = 65,21 MPa, σ₂ = −55,21 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 120,4 MPa

n = 420/120,4 = 3,488

Antwoord

n = 3,488

n > 1 betekent dat het punt niet vloeit; Tresca is iets conservatiever dan Von Mises.

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,665 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 55·1000/706,9 = 77,81 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for koper = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 77,81/117000 = 0,000665 = 665 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,000665·1000 mm = 0,665 mm

Antwoord

δ = 0,665 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 2,894 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 114,3 MPa

σ₂ = 350,1 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 114,3·1000/100000 = 1,143 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 350,1·500/100000 = 1,751 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,894 mm

Antwoord

δ = 2,894 mm

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 24,92 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1050² = 24916 N = 24,92 kN

Antwoord

P_cr = 24,92 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 40,65 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·120000 = 240000 N

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 40,65 mm

Antwoord

d = 40,65 mm

Controle: de slankheid KL/r is 103,3, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,07906

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische demping

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·25) = 3162 N·s/m

Dempingsverhouding

ζ = c/c_c = 250/3162 = 0,07906

Antwoord

ζ = 0,07906

ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 2,027 Hz

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/12 + 1/25 → k_eq = 12·25/(12 + 25) = 8,108 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(8108/50) = 12,73 rad/s

f_n = 12,73/(2π) = 2,027 Hz

Antwoord

f_n = 2,027 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design