Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen
n1·N1 = n2·N2
Koppel
T2 = T1·(N2/N1)·η
Vermogen
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging
totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning
τ = T·r/J
Massieve as
J = πd⁴/32
Holle as
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek
φ = TL/(GJ)
Vermogen
P = T·ω = 2πnT/60

Methode

  1. Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
  2. Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
  3. Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
  4. Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt
C = (σx + σy)/2
Straal
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Hoofdspanningen
σ1,2 = C ± R
Hoofdrichting
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Schuin vlak
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Methode

  1. Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
  4. Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning
σ = F/A
Rek
ε = ΔL/L
Wet van Hooke
σ = E·ε
Verlenging
ΔL = FL/(EA)
Thermische rek
εT = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor
K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning
σcr = Pcr/A
Slankheid
λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Uit de statische doorbuiging
ωn = √(g/δst)
Kritische demping
cc = 2√(km) = 2mωn
Dempingsverhouding
ζ = c/cc
Gedempte eigenfrequentie
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel
k = k1 + k2
Veren in serie
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld
d1​ = 200 mmd2​ = 315 mm1500 rpmT1​ = 400 NT2​ = 160 NP = ?

Een riem loopt op een aandrijvende schijf van 200 mm met 1500 rpm. De spanning is 400 N in het trekkende deel en 160 N in het slappe deel. Bepaal het overgebrachte vermogen P, in kW.

d1 = 200 mmn1 = 1500 rpmT1 = 400 NT2 = 160 N
P = kW
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk
d1​ = 150 mmd2​ = 300 mm1500 rpmC = 1000 mmT1​ = 600 NT2​P = ?

Een open riem verbindt een aandrijvende schijf van 150 mm met 1500 rpm met een schijf van 300 mm; de hartafstand is 1000 mm. De wrijvingscoëfficiënt is 0,25 en de spanning in het trekkende deel mag niet meer dan 600 N zijn. Bepaal het grootste vermogen P dat de riem kan overbrengen zonder te slippen, in kW (verwaarloos centrifugaaleffecten).

d1 = 150 mmn1 = 1500 rpmd2 = 300 mmC = 1000 mmμ = 0,25T1 = 600 N
P = kW
3.Torsie van assenGemiddeld
T = 200 N·md = 25 mmL = 0,8 mφ = ?

Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 200 N·md = 25 mmL = 0,8 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsie van assenMoeilijk
Tdo​ = 50 mm, di​ = 30 mm

Een holle as brengt 75 kW over bij 1450 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τmax in de as.

P = 75 kWN = 1450 rpmdo = 50 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld
σx​ = −40σy​ = 80MPaτxy​ = ?

In een punt is σₓ = −40 MPa en σᵧ = 80 MPa. Hoe groot mag de schuifspanning τxy (grootte) worden voordat de grootste hoofdspanning 120 MPa bereikt?

σx = −40 MPaσy = 80 MPaσ1 = 120 MPa
τxy = MPa
6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk
20°D = 800 mm, t = 8 mm, p = 1 MPap

Een dunwandige cilindrische tank met binnendiameter 800 mm en wanddikte 8 mm bevat gas met een overdruk van 1 MPa. Hij is gemaakt van plaat die gelast is langs een spiraalvormige naad onder 20° met de as van de cilinder. Vind de grootte van de schuifspanning |τn| die langs de lasnaad werkt.

D = 800 mmt = 8 mmp = 1 MPaα = 20°
|τn| = MPa
7.Axiale spanning en rekGemiddeld
Ø 10 mmAluminium0,5 mP = 75 kN

Vind de axiale rek ε in de staaf van aluminium, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 75 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 70 GPa
ε = µε
8.Axiale spanning en rekMoeilijk
Ø 25 mmMessing1 mØ 16 mmStaal1 mP = 65 kN

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 65 kNdeel 1: Ø25 mm, 1 m, messing (E = 100 GPa)deel 2: Ø16 mm, 1 m, staal (E = 200 GPa)
δ = mm
9.Knik van kolommenGemiddeld
PL = 2,5 m50 × 80 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
10.Knik van kolommenMoeilijk
PL = 6 md = 40 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σcr met de formule van Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (staal)d = 40 mm
σcr = MPa
11.Mechanische trillingenGemiddeld
k = 1 kN/mc = 10 N·s/mm = 5 kg

Een massa van 5 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 1 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 10 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.

m = 5 kgk = 1 kN/mc = 10 N·s/m
ζ =
12.Mechanische trillingenMoeilijk
k1​ = 30k2​ = 25m = 25 kg

Een massa van 25 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 30 kN/m en de onderste k₂ = 25 kN/m. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie fn van de verticale trilling in Hz.

m = 25 kgk1 = 30 kN/mk2 = 25 kN/m
fn = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: P = 3,77 kW

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = eμθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Riemsnelheid

v = 15,71 m/s

Vermogen

P = (400 − 160)·15,71 = 3770 W = 3,77 kW

Antwoord

P = 3,77 kW
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: P = 3,722 kW

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = eμθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Omspanningshoek

θ = 2,991 rad

Spanning in het slappe deel

eμθ = e0,7479 = 2,112, T₂ = 600/2,112 = 284 N

Vermogen

P = (600 − 284)·11,78 = 3,722 kW

Antwoord

P = 3,722 kW
3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 2,988 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 200·1000·800/(80000·38350) = 0,05215 rad
φ = 0,05215·180/π = 2,988°

Antwoord

φ = 2,988°
4.Torsie van assen

Antwoord: τmax = 23,12 MPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 75000/151,8 = 493,9 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Maximale schuifspanning

τmax = T·(do/2)/J = 493929·25/534071 = 23,12 MPa

Antwoord

τmax = 23,12 MPa
5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τxy = 80 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Benodigde straal

C = (−40 + 80)/2 = 20 MPa
R = σ1 − C = 120 − 20 = 100 MPa
στxyCσ1​σ2​

Schuifspanning

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(100² − 60²) = 80 MPa

Antwoord

τxy = 80 MPa
6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: |τn| = 8,035 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Dunwandige cilinder: tangentiële spanning σh = pr/t en axiale spanning σa = pr/(2t); dit zijn de hoofdspanningen in de wand.

Spanningen in de wand

r = 800/2 = 400 mm
σh = pr/t = 1·400/8 = 50 MPa
σa = pr/(2t) = 25 MPa

Transformeer naar de naad

Neem x langs de as (σa) en y in omtreksrichting (σh). De normaal van de naad maakt 90° − α met de as.

|τn| = (50 − 25)·sin 20°·cos 20° = 8,035 MPa

Antwoord

|τn| = 8,035 MPa
7.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 13642 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 75·1000/78,54 = 954,9 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 954,9/70000 = 0,01364 = 13642 µε

Antwoord

ε = 13642 µε
8.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 2,941 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 132,4 MPa
σ2 = 323,3 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ1 = σ1L1/E1 = 132,4·1000/100000 = 1,324 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 323,3·1000/200000 = 1,616 mm
δ = δ1 + δ2 = 2,941 mm

Antwoord

δ = 2,941 mm
9.Knik van kolommen

Antwoord: Pcr = 537,1 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Kritieke belasting

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/1750² = 537121 N = 537,1 kN

Antwoord

Pcr = 537,1 kN
10.Knik van kolommen

Antwoord: σcr = 5,483 MPa

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·6000 = 6000 mm
KL/r = 6000/10 = 600

Kritieke spanning

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/600² = 5,483 MPa

Antwoord

σcr = 5,483 MPa
11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,07071

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische demping

cc = 2·√(k·m) = 2·√(1000·5) = 141,4 N·s/m

Dempingsverhouding

ζ = c/cc = 10/141,4 = 0,07071

Antwoord

ζ = 0,07071

ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.

12.Mechanische trillingen

Antwoord: fn = 3,717 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/30 + 1/25 → keq = 30·25/(30 + 25) = 13,64 kN/m

Eigenfrequentie

ωn = √(13636/25) = 23,35 rad/s
fn = 23,35/(2π) = 3,717 Hz

Antwoord

fn = 3,717 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design