Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een worm met 2 gang(en) draait met 1440 rpm en drijft een wormwiel met 36 tanden aan. Vind het toerental n_w van het wiel.

z = 2N_w = 36n = 1440 rpm

n_w = rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een planetaire tandwielset heeft het zonnewiel 24 tanden en elk planeetwiel 15 tanden. Het ringwiel wordt vastgehouden en het zonnewiel wordt aangedreven met 1800 rpm. Vind het toerental n_c van de planeetdrager.

N_s = 24N_p = 15n_s = 1800 rpm

n_c = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van aluminium is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 500 N·md = 40 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as moet 75 kW overbrengen bij 500 rpm. De binnendiameter moet 0,5 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 75 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

P = 75 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 60 MPa, σᵧ = 110 MPa en τₓᵧ = −60 MPa (trek positief). Vind de hoek θ_s, tussen −90° en 90°, van de x-as tot de normaal van het vlak waarop de schuifspanning haar maximale positieve waarde +R heeft (schuifspanning positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 60 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_s = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een massieve as met diameter 40 mm draagt een buigend moment van 1000 N·m samen met een wringend moment van 750 N·m. Aan het bovenoppervlak, waar de buigspanning trek is en het grootst, vind de grootste hoofdspanning σ₁.

d = 40 mmM = 1000 N·mT = 750 N·m

σ₁ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van messing, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 70 kNd = 10 mmL = 3 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 40 mm, lengte 300 mm, E = 200 GPa) en een segment van koper (diameter 30 mm, lengte 500 mm, E = 120 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 30 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPasegment 2: koper, Ø30 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (staal)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 100 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 12 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 550 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.

m = 100 kgk = 12 kN/mc = 550 N·s/m

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 40 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 100 kN/m en k₂ = 100 kN/m. De massa blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 40 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_w = 80 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Toerental van het wiel

n_w = n·z/N_w = 1440·2/36 = 80 rpm

Antwoord

n_w = 80 rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_c = 553,8 rpm

Planetaire tandwielsets: de toerentallen van zonnewiel, ringwiel en planeetdrager hangen samen via de vergelijking van Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: gezien vanaf de planeetdrager is de set een gewone overbrenging met de planeetwielen als tussenwielen. Als je één deel vastzet, wordt de set een vertraging met één vaste verhouding.

Tanden van het ringwiel

N_r = N_s + 2·N_p = 24 + 2·15 = 54

Vergelijking van Willis met vast ringwiel

Stel n_r = 0 en los het toerental van de planeetdrager op.

(1800 − n_c)/(0 − n_c) = −54/24

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1800·24/78 = 553,8 rpm

Antwoord

n_c = 553,8 rpm

De planeetdrager draait in dezelfde richting als het zonnewiel.

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 3,507 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(26000·251327) = 0,06121 rad

φ = 0,06121·180/π = 3,507°

Antwoord

φ = 3,507°

4.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 46,99 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 1432 N·m = 1,432 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,432 × 10⁶/(π·75·0,9375)) = 46,99 mm

d_i = 0,5·46,99 = 23,49 mm

Antwoord

d_o = 46,99 mm

Een massieve as zou d = 45,99 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_s = 78,69 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Op de cirkel van Mohr ligt het bovenste punt (+R) 90° van het hoofdpunt σ₁; op het element is dat 45°.

cos 2θ_s = −60/65 = −0,9231, sin 2θ_s = −(−25)/65 = 0,3846

2θ_s = atan2(25, −60) = 157,4°

Hoek op het element

θ_s = 78,69°

controle: θ_s − θ_p = 78,69 − (−56,31) = 135°

Antwoord

θ_s = 78,69°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ₁ = 179 MPa

Spanningen aan het oppervlak

σ = 32M/(πd³) = 32·1000000/(π·40³) = 159,2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·40³) = 59,68 MPa

Cirkel van Mohr

C = σ/2 = 79,58 MPa

R = √(79,58² + 59,68²) = 99,47 MPa

σ₁ = C + R = 179 MPa

σ₂ = C − R = −19,89 MPa

Antwoord

σ₁ = 179 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 8913 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 70·1000/78,54 = 891,3 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 891,3/100000 = 0,008913 = 8913 µε

Antwoord

ε = 8913 µε

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 7,147 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 120000·706,9/500 = 169646 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 30000·169646/1,007 × 10⁶ = 5052 N

Spanning

σ₂ = 5052/706,9 = 7,147 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 7,147 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 12,21 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·1500 = 1500 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1500² = 12209 N = 12,21 kN

Antwoord

P_cr = 12,21 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 31,58 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/20 = 250

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/250² = 31,58 MPa

Antwoord

σ_cr = 31,58 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,251

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische demping

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(12000·100) = 2191 N·s/m

Dempingsverhouding

ζ = c/c_c = 550/2191 = 0,251

Antwoord

ζ = 0,251

ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 11,25 Hz

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 100 + 100 = 200 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(200000/40) = 70,71 rad/s

f_n = 70,71/(2π) = 11,25 Hz

Antwoord

f_n = 11,25 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design