Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een schijf van 160 mm met 2880 rpm drijft via een riem met 1 % slip een schijf van 500 mm aan. Bepaal het toerental n₂ van de aangedreven schijf.

n₁ = 2880 rpmd₁ = 160 mmd₂ = 500 mms = 1 %

n₂ = rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een motor van 11 kW met 2900 rpm drijft tandwiel A (36 tanden) aan, dat ingrijpt in tandwiel B (72 tanden). Tandwiel C (18 tanden) op dezelfde as als B drijft tandwiel D (40 tanden) op de uitgaande as aan. Elke tandwielingrijping heeft een rendement van 98%. Vind het uitgaande koppel T_out.

P = 11 kWn_in = 2900 rpmA = 36B = 72C = 18D = 40η_mesh = 98%

T_out = N·m

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as van aluminium (buitendiameter 80 mm, binnendiameter 60 mm, lengte 1,5 m) is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getordeerd door een wringend moment van 400 N·m. Vind de wringhoek φ in graden.

T = 400 N·md_o = 80 mmd_i = 60 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 5 kW overbrengen bij 1450 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 80 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 5 kWN = 1450 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 20 MPa, σᵧ = −20 MPa en τₓᵧ = −50 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = 20 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een massieve as met diameter 50 mm draagt een axiale drukkracht van 120 kN samen met een wringend moment van 750 N·m. Aan het oppervlak van de as, vind de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

d = 50 mmF = −120 kNT = 750 N·m

τ_max = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van staal onder de axiale belasting.

P = 50 kNd = 16 mmL = 2 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 65 kNdeel 1: Ø40 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)deel 2: Ø12 mm, 1,5 m, koper (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 20 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 20 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 15 mm 2 perioden later een piek van 10,3 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 15 mmx₂ = 10,3 mmn = 2

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 10 kg hangt aan veer k₃ = 60 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 10 kN/m en k₂ = 10 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 10 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 10 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n₂ = 912,4 rpm

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Toerental zonder slip

2880·160/500 = 921,6 rpm

Met slip

n₂ = 921,6·0,99 = 912,4 rpm

Antwoord

n₂ = 912,4 rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T_out = 154,6 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Uitgaand toerental

n_out = 2900·(36/72)·(18/40) = 652,5 rpm

ω_out = 2π·652,5/60 = 68,33 rad/s

Uitgaand vermogen en koppel

P_out = 11000·0,98² = 10564 W

T_out = P_out/ω_out = 10564/68,33 = 154,6 N·m

Antwoord

T_out = 154,6 N·m

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 0,481 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π(80⁴ − 60⁴)/32 = 2,749 × 10⁶ mm⁴

Wringhoek

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·1500/(26000·2,749 × 10⁶) = 0,008395 rad

φ = 0,008395·180/π = 0,481°

Antwoord

φ = 0,481°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 12,8 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 5000/151,8 = 32,93 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·32929/(π·80)) = 12,8 mm

Antwoord

d = 12,8 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = −34,1 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−50, 20 − −20) = −68,2°

Hoek op het element

θ_p = −34,1°

Antwoord

θ_p = −34,1°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 43,22 MPa

Spanningen aan het oppervlak

σ = F/A = −120000/(π·50²/4) = −120000/1963 = −61,12 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·50³) = 30,56 MPa

Cirkel van Mohr

C = σ/2 = −30,56 MPa

R = √((−30,56)² + 30,56²) = 43,22 MPa

Antwoord

τ_max = 43,22 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 2,487 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 50·1000/201,1 = 248,7 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for staal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 248,7/200000 = 0,001243 = 1243 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,001243·2000 mm = 2,487 mm

Antwoord

δ = 2,487 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 574,7 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 51,73 MPa

σ₂ = 574,7 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 574,7 MPa

Antwoord

σ_max = 574,7 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 2,57 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·5000 = 10000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/10000² = 2570 N = 2,57 kN

Antwoord

P_cr = 2,57 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 46,61 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·20000 = 40000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·40000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 46,61 mm

Antwoord

d = 46,61 mm

Controle: de slankheid KL/r is 171,7, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,0299

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/2)·ln(15/10,3) = 0,188

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,188/√(39,48 + 0,03533) = 0,0299

Antwoord

ζ = 0,0299

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 6,164 Hz

Vervangende stijfheid

Alleen k₁ en k₂ staan parallel. Dat paar staat in serie met k₃, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k₁₂ = 10 + 10 = 20 kN/m

k_eq = 20·60/(20 + 60) = 15 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(15000/10) = 38,73 rad/s

f_n = 38,73/(2π) = 6,164 Hz

Antwoord

f_n = 6,164 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design