Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een worm met 2 gang(en) draait met 960 rpm en drijft een wormwiel met 72 tanden aan. Vind het toerental n_w van het wiel.

z = 2N_w = 72n = 960 rpm

n_w = rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een samengestelde tandwieloverbrenging draait tandwiel A (45 tanden) op de ingaande as met 1440 rpm en drijft tandwiel B (72 tanden) aan. Tandwiel C (12 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D op de uitgaande as aan. De uitgaande as moet met 450 rpm draaien. Hoeveel tanden N_D moet tandwiel D hebben?

n_in = 1440 rpmA = 45B = 72C = 12n_out = 450 rpm

N_D =

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as moet een wringend moment van 500 N·m dragen. De binnendiameter moet 0,5 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 60 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

T = 500 N·md_i/d_o = 0,5τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van messing met diameter 30 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 250 N·m werkt in B, op 0,8 m van A, en een wringend moment van 200 N·m in tegengestelde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 1,2 m verder. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

d = 30 mmT_B = 250 N·mT_C = 200 N·mAB = 0,8 mBC = 1,2 m

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 80 MPa, σᵧ = −70 MPa en τₓᵧ = 10 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 80 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een massieve as met diameter 40 mm draagt een axiale drukkracht van 90 kN samen met een wringend moment van 1500 N·m. Aan het oppervlak van de as, vind de grootste hoofdspanning σ₁.

d = 40 mmF = −90 kNT = 1500 N·m

σ₁ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 30 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van messing (diameter 50 mm, lengte 300 mm, E = 100 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,2 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø50 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 115 kNdeel 1: Ø25 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)deel 2: Ø12 mm, 1,5 m, koper (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 2 kg aan een veer met een stijfheid van 12 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,45 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie f_d van de vrije trilling in Hz.

m = 2 kgk = 12 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 100 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 50 kN/m en k₂ = 10 kN/m. De massa blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 100 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_w = 26,67 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Toerental van het wiel

n_w = n·z/N_w = 960·2/72 = 26,67 rpm

Antwoord

n_w = 26,67 rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: N_D = 24

Toerental van de tussenas

n_B = n_C = 1440·45/72 = 900 rpm

Tanden op tandwiel D

N_D = C·n_C/n_out = 12·900/450 = 24

Antwoord

N_D = 24

3.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 35,64 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 500 N·m = 500000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·60·0,9375)) = 35,64 mm

d_i = 0,5·35,64 = 17,82 mm

Antwoord

d_o = 35,64 mm

Een massieve as zou d = 34,88 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 37,73 MPa

Inwendige wringende momenten

Draaizin van T_C positief genomen.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C − T_B = 200 − 250 = −50 N·m

Maximale schuifspanning

Het deel met het grootste inwendige wringend moment heeft de grootste spanning (zelfde diameter).

|T|_max = 200 N·m

τ_max = 16·200000/(π·30³) = 37,73 MPa

Antwoord

τ_max = 37,73 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 75,66 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((80 − −70)/2)² + 10²) = 75,66 MPa

Antwoord

τ_max = 75,66 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ₁ = 88,81 MPa

Spanningen aan het oppervlak

σ = F/A = −90000/(π·40²/4) = −90000/1257 = −71,62 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·40³) = 119,4 MPa

Cirkel van Mohr

C = σ/2 = −35,81 MPa

R = √((−35,81)² + 119,4²) = 124,6 MPa

σ₁ = C + R = 88,81 MPa

σ₂ = C − R = −160,4 MPa

Antwoord

σ₁ = 88,81 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 34,65 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·1963) = 1,528 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,2/5,772 × 10⁻⁶ = 34650 N = 34,65 kN

Antwoord

P = 34,65 kN

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 1017 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 234,3 MPa

σ₂ = 1017 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 1017 MPa

Antwoord

σ_max = 1017 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 16,84 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·2500 = 2500 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/2500² = 16844 N = 16,84 kN

Antwoord

P_cr = 16,84 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 137,1 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·1500 = 750 mm

KL/r = 750/6,25 = 120

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/120² = 137,1 MPa

Antwoord

σ_cr = 137,1 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: f_d = 11,01 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ω_n = √(12000/2) = 77,46 rad/s

f_n = 77,46/(2π) = 12,33 Hz

Gedempte eigenfrequentie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 12,33·√(1 − 0,45²) = 11,01 Hz

Antwoord

f_d = 11,01 Hz

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 3,898 Hz

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 50 + 10 = 60 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(60000/100) = 24,49 rad/s

f_n = 24,49/(2π) = 3,898 Hz

Antwoord

f_n = 3,898 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design