Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 3 kW die met 1450 rpm draait, drijft een rondsel met 18 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 30 tanden. Het tandwielpaar heeft een rendement van 95%. Bereken het koppel T₁ op de motoras.

P = 3 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 18N₂ = 30η = 95%

T₁ = N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een open riem verbindt een schijf van 100 mm en een schijf van 300 mm waarvan de hartafstand 800 mm is. Bepaal de omspanningshoek θ op de kleinere schijf, in graden.

d₁ = 100 mmd₂ = 300 mmC = 800 mm

θ = °

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 100 N·md = 20 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van messing met diameter 30 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 250 N·m werkt in B, op 3 m van A, en een wringend moment van 500 N·m in tegengestelde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 1 m verder. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

d = 30 mmT_B = 250 N·mT_C = 500 N·mAB = 3 mBC = 1 m

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 40 MPa, σᵧ = 120 MPa en τₓᵧ = −40 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 40 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een massieve as met diameter 30 mm draagt een buigend moment van 750 N·m samen met een wringend moment van 100 N·m. Aan het bovenoppervlak, waar de buigspanning trek is en het grootst, vind de grootste hoofdspanning σ₁.

d = 30 mmM = 750 N·mT = 100 N·m

σ₁ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van messing onder de axiale belasting.

P = 95 kNd = 10 mmL = 1 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 30 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 160 MPa) zit in een buis van brons (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 60 mm, E = 110 GPa, toelaatbare spanning 50 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPabuis: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Hij moet 80 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 80 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 80 kg aan een veer met een stijfheid van 40 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,5 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie f_d van de vrije trilling in Hz.

m = 80 kgk = 40 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 20 kg hangt aan veer k₃ = 60 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 15 kN/m en k₂ = 50 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 20 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T₁ = 19,76 N·m

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Motorkoppel

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/151,8 = 19,76 N·m

Antwoord

T₁ = 19,76 N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: θ = 165,6 °

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Riemhoek

asin(0,125) = 7,181°

Omspanningshoek

θ = 180 − 2·7,181 = 165,6°

Antwoord

θ = 165,6°

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 6,839 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(80000·15708) = 0,1194 rad

φ = 0,1194·180/π = 6,839°

Antwoord

φ = 6,839°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 94,31 MPa

Inwendige wringende momenten

Draaizin van T_C positief genomen.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 500 − 250 = 250 N·m

Maximale schuifspanning

Het deel met het grootste inwendige wringend moment heeft de grootste spanning (zelfde diameter).

|T|_max = 500 N·m

τ_max = 16·500000/(π·30³) = 94,31 MPa

Antwoord

τ_max = 94,31 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 56,57 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((40 − 120)/2)² + −40²) = 56,57 MPa

Antwoord

τ_max = 56,57 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ₁ = 284,2 MPa

Spanningen aan het oppervlak

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·30³) = 282,9 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·30³) = 18,86 MPa

Cirkel van Mohr

C = σ/2 = 141,5 MPa

R = √(141,5² + 18,86²) = 142,7 MPa

σ₁ = C + R = 284,2 MPa

σ₂ = C − R = −1,252 MPa

Antwoord

σ₁ = 284,2 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 12,1 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 95·1000/78,54 = 1210 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1210/100000 = 0,0121 = 12096 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,0121·1000 mm = 12,1 mm

Antwoord

δ = 12,1 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 315,6 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·5027 = 6,943 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,0008, 0,0004545) = 0,0004545 (brons)

Grootste belasting

P_max = 0,0004545·6,943 × 10⁸ = 315587 N = 315,6 kN

Antwoord

P_max = 315,6 kN

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 19,74 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/2000² = 19739 N = 19,74 kN

Antwoord

P_cr = 19,74 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 114,2 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·80000 = 160000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·160000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 114,2 mm

Antwoord

d = 114,2 mm

Controle: de slankheid KL/r is 210,2, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: f_d = 3,082 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ω_n = √(40000/80) = 22,36 rad/s

f_n = 22,36/(2π) = 3,559 Hz

Gedempte eigenfrequentie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,559·√(1 − 0,5²) = 3,082 Hz

Antwoord

f_d = 3,082 Hz

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 6,286 Hz

Vervangende stijfheid

Alleen k₁ en k₂ staan parallel. Dat paar staat in serie met k₃, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k₁₂ = 15 + 50 = 65 kN/m

k_eq = 65·60/(65 + 60) = 31,2 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(31200/20) = 39,5 rad/s

f_n = 39,5/(2π) = 6,286 Hz

Antwoord

f_n = 6,286 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design