Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen
n1·N1 = n2·N2
Koppel
T2 = T1·(N2/N1)·η
Vermogen
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging
totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning
τ = T·r/J
Massieve as
J = πd⁴/32
Holle as
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek
φ = TL/(GJ)
Vermogen
P = T·ω = 2πnT/60

Methode

  1. Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
  2. Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
  3. Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
  4. Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt
C = (σx + σy)/2
Straal
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Hoofdspanningen
σ1,2 = C ± R
Hoofdrichting
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Schuin vlak
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Methode

  1. Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
  4. Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning
σ = F/A
Rek
ε = ΔL/L
Wet van Hooke
σ = E·ε
Verlenging
ΔL = FL/(EA)
Thermische rek
εT = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor
K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning
σcr = Pcr/A
Slankheid
λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Uit de statische doorbuiging
ωn = √(g/δst)
Kritische demping
cc = 2√(km) = 2mωn
Dempingsverhouding
ζ = c/cc
Gedempte eigenfrequentie
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel
k = k1 + k2
Veren in serie
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld
d1​ = 80 mmd2​ = 450 mm1440 rpmT1​ = 400 NT2​ = 160 NP = ?

Een riem loopt op een aandrijvende schijf van 80 mm met 1440 rpm. De spanning is 400 N in het trekkende deel en 160 N in het slappe deel. Bepaal het overgebrachte vermogen P, in kW.

d1 = 80 mmn1 = 1440 rpmT1 = 400 NT2 = 160 N
P = kW
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk
A = 12B = 20C = 12D = 20

Een motor van 1,1 kW met 2900 rpm drijft tandwiel A (12 tanden) aan, dat ingrijpt in tandwiel B (20 tanden). Tandwiel C (12 tanden) op dezelfde as als B drijft tandwiel D (20 tanden) op de uitgaande as aan. Elke tandwielingrijping heeft een rendement van 98%. Vind het uitgaande koppel Tout.

P = 1,1 kWnin = 2900 rpmA = 12B = 20C = 12D = 20ηmesh = 98%
Tout = N·m
3.Torsie van assenGemiddeld
T = 200 N·md = 40 mmL = 2,5 mφ = ?

Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 200 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsie van assenMoeilijk
do​ = ?30 kW, 300 rpm

Een holle as moet 30 kW overbrengen bij 300 rpm. De binnendiameter moet 0,6 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 80 MPa. Vind de kleinste buitendiameter do.

P = 30 kWN = 300 rpmdi/do = 0,6τallow = 80 MPa
do = mm
5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld
σx​ = 90σy​ = 90τxy​ = 60MPa

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 90 MPa, σᵧ = 90 MPa en τₓᵧ = 60 MPa (trek positief). Bereken de hoek θp van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σx = 90 MPaσy = 90 MPaτxy = 60 MPa
θp = °
6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk
55°D = 500 mm, t = 5 mm, p = 1,2 MPap

Een dunwandige cilindrische tank met binnendiameter 500 mm en wanddikte 5 mm bevat gas met een overdruk van 1,2 MPa. Hij is gemaakt van plaat die gelast is langs een spiraalvormige naad onder 55° met de as van de cilinder. Vind de normaalspanning σn die dwars op de lasnaad werkt.

D = 500 mmt = 5 mmp = 1,2 MPaα = 55°
σn = MPa
7.Axiale spanning en rekGemiddeld
Ø 30 mmKoper2 mP = 65 kN

Vind de verlenging δ van de staaf van koper onder de axiale belasting.

P = 65 kNd = 30 mmL = 2 mE = 117 GPa
δ = mm
8.Axiale spanning en rekMoeilijk
P = ?Ø30100 GPaØ120/50500 mm

Een staaf van staal (diameter 30 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 160 MPa) zit in een buis van messing (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 50 mm, E = 100 GPa, toelaatbare spanning 60 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting Pmax.

staaf: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPabuis: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
9.Knik van kolommenGemiddeld
PL = 6 m25 × 80 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
10.Knik van kolommenMoeilijk
P = 10 kNL = 4 md = ?doorsnede

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Hij moet 10 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 10 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm
11.Mechanische trillingenGemiddeld
k = 40 kN/mζ = 0,45m = 2 kg

Een massa van 2 kg aan een veer met een stijfheid van 40 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,45 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie fd van de vrije trilling in Hz.

m = 2 kgk = 40 kN/mζ = 0,45
fd = Hz
12.Mechanische trillingenMoeilijk
k1​ = 25k2​ = 15m = 100 kg

Een massa van 100 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 25 kN/m en de onderste k₂ = 15 kN/m. Vind de vervangende stijfheid keq van het verensysteem in kN/m.

m = 100 kgk1 = 25 kN/mk2 = 15 kN/m
keq = kN/m

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: P = 1,448 kW

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = eμθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Riemsnelheid

v = 6,032 m/s

Vermogen

P = (400 − 160)·6,032 = 1448 W = 1,448 kW

Antwoord

P = 1,448 kW
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: Tout = 9,663 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Uitgaand toerental

nout = 2900·(12/20)·(12/20) = 1044 rpm
ωout = 2π·1044/60 = 109,3 rad/s

Uitgaand vermogen en koppel

Pout = 1100·0,98² = 1056 W
Tout = Pout/ωout = 1056/109,3 = 9,663 N·m

Antwoord

Tout = 9,663 N·m
3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 1,425 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(80000·251327) = 0,02487 rad
φ = 0,02487·180/π = 1,425°

Antwoord

φ = 1,425°
4.Torsie van assen

Antwoord: do = 41,18 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 30000/31,42 = 954,9 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·80·0,8704)) = 41,18 mm
di = 0,6·41,18 = 24,71 mm

Antwoord

do = 41,18 mm

Een massieve as zou d = 39,32 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θp = 45 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

στxyCσ1​σ2​

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θp = atan2(2·60, 90 − 90) = 90°

Hoek op het element

θp = 45°

Antwoord

θp = 45°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σn = 39,87 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Dunwandige cilinder: tangentiële spanning σh = pr/t en axiale spanning σa = pr/(2t); dit zijn de hoofdspanningen in de wand.

Spanningen in de wand

r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 1,2·250/5 = 60 MPa
σa = pr/(2t) = 30 MPa

Transformeer naar de naad

Neem x langs de as (σa) en y in omtreksrichting (σh). De normaal van de naad maakt 90° − α met de as.

σn = 30·sin²55° + 60·cos²55° = 39,87 MPa

Antwoord

σn = 39,87 MPa
7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 1,572 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 65·1000/706,9 = 91,96 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for koper = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 91,96/117000 = 0,000786 = 786 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,000786·2000 mm = 1,572 mm

Antwoord

δ = 1,572 mm
8.Axiale spanning en rek

Antwoord: Pmax = 645,6 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, Pi = P·EiAi/ΣEA, en σi = Ei·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·9346 = 1,076 × 10⁹ N

Bepalende rek

ε = min(0,0008, 0,0006) = 0,0006 (messing)

Grootste belasting

Pmax = 0,0006·1,076 × 10⁹ = 645597 N = 645,6 kN

Antwoord

Pmax = 645,6 kN
9.Knik van kolommen

Antwoord: Pcr = 4,08 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Kritieke belasting

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/4200² = 4080 N = 4,08 kN

Antwoord

Pcr = 4,08 kN
10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 51,32 mm

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Benodigde kritieke belasting

Pcr = n·P = 3·10000 = 30000 N
KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 51,32 mm

Antwoord

d = 51,32 mm

Controle: de slankheid KL/r is 218,2, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: fd = 20,1 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ωn = √(40000/2) = 141,4 rad/s
fn = 141,4/(2π) = 22,51 Hz

Gedempte eigenfrequentie

fd = fn·√(1 − ζ²) = 22,51·√(1 − 0,45²) = 20,1 Hz

Antwoord

fd = 20,1 Hz
12.Mechanische trillingen

Antwoord: keq = 9,375 kN/m

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/25 + 1/15 → keq = 25·15/(25 + 15) = 9,375 kN/m

Antwoord

keq = 9,375 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design