Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 3 kW die met 960 rpm draait, drijft een rondsel met 25 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 60 tanden. Het tandwielpaar heeft een rendement van 98%. Bereken het uitgaande koppel T₂ op de as van het tandwiel.

P = 3 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 25N₂ = 60η = 98%

T₂ = N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een open riem verbindt een aandrijvende schijf van 80 mm met 1440 rpm met een schijf van 315 mm; de hartafstand is 1000 mm. De wrijvingscoëfficiënt is 0,3 en de spanning in het trekkende deel mag niet meer dan 2000 N zijn. Bepaal het grootste vermogen P dat de riem kan overbrengen zonder te slippen, in kW (verwaarloos centrifugaaleffecten).

d₁ = 80 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 315 mmC = 1000 mmμ = 0,3T₁ = 2000 N

P = kW

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as moet een wringend moment van 400 N·m dragen. De binnendiameter moet 0,6 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 80 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

T = 400 N·md_i/d_o = 0,6τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van messing met diameter 30 mm is aan beide uiteinden A en B ingeklemd in starre wanden. Een wringend moment van 200 N·m werkt in C, op 3 m van A en 0,8 m van B. Vind het reactiemoment T_A bij wand A.

d = 30 mmT₀ = 200 N·ma = 3 mb = 0,8 m

T_A = N·m

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 30 MPa, σᵧ = 90 MPa en τₓᵧ = −20 MPa (trek positief). Het element wordt 60° linksom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = 30 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 60°

σ_y′ = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een dunwandige cilindrische tank met binnendiameter 800 mm en wanddikte 8 mm bevat gas met een overdruk van 2 MPa. Hij is gemaakt van plaat die gelast is langs een spiraalvormige naad onder 60° met de as van de cilinder. Vind de normaalspanning σ_n die dwars op de lasnaad werkt.

D = 800 mmt = 8 mmp = 2 MPaα = 60°

σ_n = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van aluminium, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 15 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 50 kNdeel 1: Ø30 mm, 0,5 m, koper (E = 117 GPa)deel 2: Ø16 mm, 1 m, messing (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 55 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 55 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 25 mm 4 perioden later een piek van 3,3 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 25 mmx₄ = 3,3 mmn = 4

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 5 kg hangt aan veer k₃ = 80 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 80 kN/m en k₂ = 5 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 5 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T₂ = 70,19 N·m

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Motorkoppel

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/100,5 = 29,84 N·m

Uitgaand koppel

T₂ = 29,84·60/25·0,98 = 70,19 N·m

Antwoord

T₂ = 70,19 N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: P = 7,019 kW

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Omspanningshoek

θ = 2,906 rad

Spanning in het slappe deel

e^μθ = e^0,8718 = 2,391, T₂ = 2000/2,391 = 836,4 N

Vermogen

P = (2000 − 836,4)·6,032 = 7,019 kW

Antwoord

P = 7,019 kW

3.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 30,81 mm

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 400 N·m = 400000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·80·0,8704)) = 30,81 mm

d_i = 0,6·30,81 = 18,49 mm

Antwoord

d_o = 30,81 mm

Een massieve as zou d = 29,42 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

4.Torsie van assen

Antwoord: T_A = 42,11 N·m

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω. Als beide uiteinden zijn ingeklemd, geeft de statica alleen T_A + T_B = T₀; de tweede vergelijking is de vormveranderingsvoorwaarde (gelijke wringhoek van beide delen bij de belaste doorsnede).

Evenwicht en vormveranderingsvoorwaarde

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·0,8/3,8 = 42,11 N·m

T_B = 200·3/3,8 = 157,9 N·m

Antwoord

T_A = 42,11 N·m

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = 62,32 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = 60 − (−30)·(−0,5) − (−20)·0,866 = 62,32 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = 57,68 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 120 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = 62,32 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_n = 62,5 MPa

Spanningen in de wand

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 2·400/8 = 100 MPa

σ_a = pr/(2t) = 50 MPa

Transformeer naar de naad

Neem x langs de as (σ_a) en y in omtreksrichting (σ_h). De normaal van de naad maakt 90° − α met de as.

σ_n = 50·sin²60° + 100·cos²60° = 62,5 MPa

Antwoord

σ_n = 62,5 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 303,2 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 15·1000/706,9 = 21,22 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 21,22/70000 = 0,0003032 = 303,2 µε

Antwoord

ε = 303,2 µε

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 2,789 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 70,74 MPa

σ₂ = 248,7 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 70,74·500/117000 = 0,3023 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 248,7·1000/100000 = 2,487 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,789 mm

Antwoord

δ = 2,789 mm

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 107,9 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/2000² = 107949 N = 107,9 kN

Antwoord

P_cr = 107,9 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 72,25 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 3·55000 = 165000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 72,25 mm

Antwoord

d = 72,25 mm

Controle: de slankheid KL/r is 221,5, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,08031

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/4)·ln(25/3,3) = 0,5062

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,5062/√(39,48 + 0,2563) = 0,08031

Antwoord

ζ = 0,08031

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 14,45 Hz

Vervangende stijfheid

Alleen k₁ en k₂ staan parallel. Dat paar staat in serie met k₃, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k₁₂ = 80 + 5 = 85 kN/m

k_eq = 85·80/(85 + 80) = 41,21 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(41212/5) = 90,79 rad/s

f_n = 90,79/(2π) = 14,45 Hz

Antwoord

f_n = 14,45 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design