Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen
n1·N1 = n2·N2
Koppel
T2 = T1·(N2/N1)·η
Vermogen
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging
totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning
τ = T·r/J
Massieve as
J = πd⁴/32
Holle as
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek
φ = TL/(GJ)
Vermogen
P = T·ω = 2πnT/60

Methode

  1. Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
  2. Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
  3. Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
  4. Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt
C = (σx + σy)/2
Straal
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Hoofdspanningen
σ1,2 = C ± R
Hoofdrichting
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Schuin vlak
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Methode

  1. Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
  4. Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning
σ = F/A
Rek
ε = ΔL/L
Wet van Hooke
σ = E·ε
Verlenging
ΔL = FL/(EA)
Thermische rek
εT = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor
K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning
σcr = Pcr/A
Slankheid
λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Uit de statische doorbuiging
ωn = √(g/δst)
Kritische demping
cc = 2√(km) = 2mωn
Dempingsverhouding
ζ = c/cc
Gedempte eigenfrequentie
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel
k = k1 + k2
Veren in serie
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld
N1​ = 30, m = 2,5 mm

Een motor van 22 kW die met 1450 rpm draait, drijft een rondsel aan met 30 tanden en een module van 2,5 mm. Vind de tangentiële kracht Ft op de tanden van het rondsel.

P = 22 kWn = 1450 rpmN1 = 30m = 2,5 mm
Ft = N
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk
A = 32B = 60C = 15D = 60

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (32 tanden) op de ingaande as, die met 960 rpm draait, tandwiel B (60 tanden) aan. Tandwiel C (15 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (60 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental nout.

nin = 960 rpmA = 32B = 60C = 15D = 60
nout = rpm
3.Torsie van assenGemiddeld
T = 1000 N·md = 40 mmL = 2,5 mφ = ?

Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsie van assenMoeilijk
d = 40 mmT0​ = 400 N·mACBa = 1,2 mb = 1 m

Een massieve as van messing met diameter 40 mm is aan beide uiteinden A en B ingeklemd in starre wanden. Een wringend moment van 400 N·m werkt in C, op 1,2 m van A en 1 m van B. Vind het reactiemoment TA bij wand A.

d = 40 mmT0 = 400 N·ma = 1,2 mb = 1 m
TA = N·m
5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld
σx​ = 80σy​ = 50τxy​ = 20MPa

In een punt is σₓ = 80 MPa, σᵧ = 50 MPa en τₓᵧ = 20 MPa (trek positief). Vind de hoek θs, tussen −90° en 90°, van de x-as tot de normaal van het vlak waarop de schuifspanning haar maximale positieve waarde +R heeft (schuifspanning positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σx = 80 MPaσy = 50 MPaτxy = 20 MPa
θs = °
6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk
σx​τxy​oppervlak van de as

Een massieve as met diameter 40 mm draagt een axiale trekkracht van 70 kN samen met een wringend moment van 1000 N·m. Aan het oppervlak van de as, vind de grootste hoofdspanning σ1.

d = 40 mmF = 70 kNT = 1000 N·m
σ1 = MPa
7.Axiale spanning en rekGemiddeld
Ø 16 mmMessing1,5 mP = 80 kN

Vind de axiale rek ε in de staaf van messing, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 80 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 100 GPa
ε = µε
8.Axiale spanning en rekMoeilijk
100 kN12400 mm300 mmØ25Ø60σ2​ = ?

Een segment van staal (diameter 25 mm, lengte 400 mm, E = 200 GPa) en een segment van messing (diameter 60 mm, lengte 300 mm, E = 100 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 100 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ2 in segment 2.

segment 1: staal, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø60 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
9.Knik van kolommenGemiddeld
PL = 2 md = 25 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Knik van kolommenMoeilijk
PL = 2,5 md = 30 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σcr met de formule van Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm
σcr = MPa
11.Mechanische trillingenGemiddeld
k = 50 kN/mc = 270 N·s/mm = 150 kg

Een massa van 150 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 50 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 270 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.

m = 150 kgk = 50 kN/mc = 270 N·s/m
ζ =
12.Mechanische trillingenMoeilijk
k1​ = 25k2​ = 20k3​ = 12m = 40 kg

Een massa van 40 kg hangt aan veer k₃ = 12 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 25 kN/m en k₂ = 20 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie fn van de verticale trilling in Hz.

m = 40 kgk1 = 25 kN/mk2 = 20 kN/mk3 = 12 kN/m
fn = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: Ft = 3864 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.

Koppel op het rondsel

ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 22000/151,8 = 144,9 N·m

Steekcirkeldiameter

d = m·N = 2,5·30 = 75 mm

Tangentiële kracht

Ft = 2T/d = 2·144,9/0,075 = 3864 N

Antwoord

Ft = 3864 N
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: nout = 128 rpm

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Eerste trap

nB = 960·32/60 = 512 rpm = nC

Tweede trap

nout = 512·15/60 = 128 rpm

Antwoord

nout = 128 rpm

totale overbrengingsverhouding = 7,5 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 7,124 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2500/(80000·251327) = 0,1243 rad
φ = 0,1243·180/π = 7,124°

Antwoord

φ = 7,124°
4.Torsie van assen

Antwoord: TA = 181,8 N·m

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω. Als beide uiteinden zijn ingeklemd, geeft de statica alleen TA + TB = T₀; de tweede vergelijking is de vormveranderingsvoorwaarde (gelijke wringhoek van beide delen bij de belaste doorsnede).

Evenwicht en vormveranderingsvoorwaarde

TA + TB = 400
TA·a = TB·b
TA = 400·1/2,2 = 181,8 N·m
TB = 400·1,2/2,2 = 218,2 N·m

Antwoord

TA = 181,8 N·m
5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θs = −18,43 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

στxyCτmax​

Hoek op de cirkel

Op de cirkel van Mohr ligt het bovenste punt (+R) 90° van het hoofdpunt σ₁; op het element is dat 45°.

cos 2θs = 20/25 = 0,8, sin 2θs = −15/25 = −0,6
2θs = atan2(−15, 20) = −36,87°

Hoek op het element

θs = −18,43°
controle: θs − θp = −18,43 − 26,57 = −45°

Antwoord

θs = −18,43°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ1 = 112,2 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Spanningen aan het oppervlak

σ = F/A = 70000/(π·40²/4) = 70000/1257 = 55,7 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·40³) = 79,58 MPa
στxyCσ1​σ2​

Cirkel van Mohr

C = σ/2 = 27,85 MPa
R = √(27,85² + 79,58²) = 84,31 MPa
σ1 = C + R = 112,2 MPa
σ2 = C − R = −56,46 MPa

Antwoord

σ1 = 112,2 MPa
7.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 3979 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 80·1000/201,1 = 397,9 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 397,9/100000 = 0,003979 = 3979 µε

Antwoord

ε = 3979 µε
8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ2 = 28,06 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, Pi = P·EiAi/ΣEA, en σi = Ei·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·490,9/400 = 245437 N/mm
k₂ = 100000·2827/300 = 942478 N/mm

Aandeel van segment 2

F2 = 100000·942478/1,188 × 10⁶ = 79339 N

Spanning

σ2 = 79339/2827 = 28,06 MPa (druk)

Antwoord

σ2 = 28,06 MPa
9.Knik van kolommen

Antwoord: Pcr = 37,85 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Kritieke belasting

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1000² = 37849 N = 37,85 kN

Antwoord

Pcr = 37,85 kN
10.Knik van kolommen

Antwoord: σcr = 24,87 MPa

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,5·2500 = 1250 mm
KL/r = 1250/7,5 = 166,7

Kritieke spanning

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/166,7² = 24,87 MPa

Antwoord

σcr = 24,87 MPa
11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,0493

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische demping

cc = 2·√(k·m) = 2·√(50000·150) = 5477 N·s/m

Dempingsverhouding

ζ = c/cc = 270/5477 = 0,0493

Antwoord

ζ = 0,0493

ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.

12.Mechanische trillingen

Antwoord: fn = 2,449 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Vervangende stijfheid

Alleen k1 en k2 staan parallel. Dat paar staat in serie met k3, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k12 = 25 + 20 = 45 kN/m
keq = 45·12/(45 + 12) = 9,474 kN/m

Eigenfrequentie

ωn = √(9474/40) = 15,39 rad/s
fn = 15,39/(2π) = 2,449 Hz

Antwoord

fn = 2,449 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design