Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een riem loopt op een aandrijvende schijf van 120 mm met 960 rpm. De spanning is 600 N in het trekkende deel en 300 N in het slappe deel. Bepaal het overgebrachte vermogen P, in kW.

d₁ = 120 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 600 NT₂ = 300 N

P = kW

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een open riem verbindt een schijf van 200 mm en een schijf van 315 mm waarvan de hartafstand 600 mm is. Bepaal de omspanningshoek θ op de kleinere schijf, in graden.

d₁ = 200 mmd₂ = 315 mmC = 600 mm

θ = °

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van aluminium is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 250 N·md = 50 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as moet 20 kW overbrengen bij 300 rpm. De binnendiameter moet 0,75 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 80 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

P = 20 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 60 MPa, σᵧ = 10 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 60 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 50 MPa, σᵧ = 70 MPa en τₓᵧ = −20 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 60° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 50 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van koper onder de axiale belasting.

P = 85 kNd = 30 mmL = 2 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 120 kNdeel 1: Ø40 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)deel 2: Ø16 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Hij moet 150 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2,5 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 150 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 50 kg aan een veer met een stijfheid van 100 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,5 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie f_d van de vrije trilling in Hz.

m = 50 kgk = 100 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 10 kg hangt aan veer k₃ = 10 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 10 kN/m en k₂ = 15 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 10 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: P = 1,81 kW

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Riemsnelheid

v = 6,032 m/s

Vermogen

P = (600 − 300)·6,032 = 1810 W = 1,81 kW

Antwoord

P = 1,81 kW

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: θ = 169 °

Riemhoek

asin(0,09583) = 5,499°

Omspanningshoek

θ = 180 − 2·5,499 = 169°

Antwoord

θ = 169°

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 0,7183 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 250·1000·800/(26000·613592) = 0,01254 rad

φ = 0,01254·180/π = 0,7183°

Antwoord

φ = 0,7183°

4.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 38,99 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 20000/31,42 = 636,6 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 636,6 N·m = 636620 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·636620/(π·80·0,6836)) = 38,99 mm

d_i = 0,75·38,99 = 29,24 mm

Antwoord

d_o = 38,99 mm

Een massieve as zou d = 34,35 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 39,05 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((60 − 10)/2)² + 30²) = 39,05 MPa

Antwoord

τ_max = 39,05 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 47,68 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 60 + −10·−0,5 + −20·0,866 = 47,68 MPa

Antwoord

σ_θ = 47,68 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 2,056 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 85·1000/706,9 = 120,3 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for koper = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 120,3/117000 = 0,001028 = 1028 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,001028·2000 mm = 2,056 mm

Antwoord

δ = 2,056 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 596,8 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 95,49 MPa

σ₂ = 596,8 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 596,8 MPa

Antwoord

σ_max = 596,8 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 94,2 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·1500 = 1500 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1500² = 94203 N = 94,2 kN

Antwoord

P_cr = 94,2 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 45,45 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2,5·150000 = 375000 N

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 45,45 mm

Antwoord

d = 45,45 mm

Controle: de slankheid KL/r is 92,41, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: f_d = 6,164 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ω_n = √(100000/50) = 44,72 rad/s

f_n = 44,72/(2π) = 7,118 Hz

Gedempte eigenfrequentie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7,118·√(1 − 0,5²) = 6,164 Hz

Antwoord

f_d = 6,164 Hz

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 4,254 Hz

Vervangende stijfheid

Alleen k₁ en k₂ staan parallel. Dat paar staat in serie met k₃, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k₁₂ = 10 + 15 = 25 kN/m

k_eq = 25·10/(25 + 10) = 7,143 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(7143/10) = 26,73 rad/s

f_n = 26,73/(2π) = 4,254 Hz

Antwoord

f_n = 4,254 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design