Tandwielen en tandwieloverbrengingen
- Ingrijpende tandwielen
- n1·N1 = n2·N2
- Koppel
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Vermogen
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Meertraps overbrenging
- totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen
Machineontwerp: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Torsie van assen
- Schuifspanning
- τ = T·r/J
- Massieve as
- J = πd⁴/32
- Holle as
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Wringhoek
- φ = TL/(GJ)
- Vermogen
- P = T·ω = 2πnT/60
Methode
- Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
- Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
- Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
- Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.
Cirkel van Mohr en spanningstransformatie
- Middelpunt
- C = (σx + σy)/2
- Straal
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Hoofdspanningen
- σ1,2 = C ± R
- Hoofdrichting
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Schuin vlak
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Methode
- Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
- Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Axiale spanning en rek
- Normaalspanning
- σ = F/A
- Rek
- ε = ΔL/L
- Wet van Hooke
- σ = E·ε
- Verlenging
- ΔL = FL/(EA)
- Thermische rek
- εT = α·ΔT
Knik van kolommen
- Eulerse kniklast
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Kniklengtefactor
- K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
- Kritieke spanning
- σcr = Pcr/A
- Slankheid
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mechanische trillingen
- Eigenfrequentie
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Uit de statische doorbuiging
- ωn = √(g/δst)
- Kritische demping
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Dempingsverhouding
- ζ = c/cc
- Gedempte eigenfrequentie
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmisch decrement
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Veren parallel
- k = k1 + k2
- Veren in serie
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Oefenopgaven
1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld
Een motor van 7,5 kW die met 2900 rpm draait, drijft een rondsel met 12 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 60 tanden. Het tandwielpaar heeft een rendement van 98%. Bereken het koppel T1 op de motoras.
P = 7,5 kWn1 = 2900 rpmN1 = 12N2 = 60η = 98%
T1 = N·m
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk
Een open riem verbindt een schijf van 80 mm en een schijf van 250 mm waarvan de hartafstand 600 mm is. Bepaal de omspanningshoek θ op de kleinere schijf, in graden.
d1 = 80 mmd2 = 250 mmC = 600 mm
θ = °
3.Torsie van assenGemiddeld
Een holle as van aluminium (buitendiameter 75 mm, binnendiameter 53 mm, lengte 0,5 m) is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getordeerd door een wringend moment van 1500 N·m. Vind de wringhoek φ in graden.
T = 1500 N·mdo = 75 mmdi = 53 mmL = 0,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsie van assenMoeilijk
Een holle as brengt 20 kW over bij 300 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τmax in de as.
P = 20 kWN = 300 rpmdo = 50 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld
Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 110 MPa, σᵧ = 90 MPa en τₓᵧ = −30 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τmax.
σx = 110 MPaσy = 90 MPaτxy = −30 MPa
τmax = MPa
6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk
Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −10 MPa, σᵧ = 60 MPa en τₓᵧ = −20 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τθ op een vlak waarvan de normaal 30° met de klok mee gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).
σx = −10 MPaσy = 60 MPaτxy = −20 MPaθ = -30°
τθ = MPa
7.Axiale spanning en rekGemiddeld
Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 30 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van brons (diameter 50 mm, lengte 200 mm, E = 110 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,4 mm laat uitrekken.
segment 1: staal, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: brons, Ø50 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0,4 mm
P = kN
8.Axiale spanning en rekMoeilijk
Een segment van staal (diameter 20 mm, lengte 500 mm, E = 200 GPa) en een segment van koper (diameter 30 mm, lengte 200 mm, E = 120 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 60 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ2 in segment 2.
segment 1: staal, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPasegment 2: koper, Ø30 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 60 kN
σ2 = MPa
9.Knik van kolommenGemiddeld
Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.
L = 1 mE = 200 GPa (staal)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Knik van kolommenMoeilijk
Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Hij moet 95 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.
P = 95 kNn = 3L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm
11.Mechanische trillingenGemiddeld
Een massa van 10 kg aan een veer met een stijfheid van 1 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,6 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie fd van de vrije trilling in Hz.
m = 10 kgk = 1 kN/mζ = 0,6
fd = Hz
12.Mechanische trillingenMoeilijk
Een massa van 50 kg hangt aan veer k₃ = 50 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 80 kN/m en k₂ = 25 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie fn van de verticale trilling in Hz.
m = 50 kgk1 = 80 kN/mk2 = 25 kN/mk3 = 50 kN/m
fn = Hz
3Oplossingen
1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen
Antwoord: T1 = 24,7 N·m
Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.
Motorkoppel
ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 7500/303,7 = 24,7 N·m
Antwoord
T1 = 24,7 N·m
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen
Antwoord: θ = 163,7 °
Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = eμθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.
Riemhoek
asin(0,1417) = 8,144°
Omspanningshoek
θ = 180 − 2·8,144 = 163,7°
Antwoord
θ = 163,7°
3.Torsie van assen
Antwoord: φ = 0,7088 °
Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.
Polair traagheidsmoment
J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2,332 × 10⁶ mm⁴
Wringhoek
T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm
L = 0,5 m = 500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1,5 × 10⁶·500/(26000·2,332 × 10⁶) = 0,01237 rad
φ = 0,01237·180/π = 0,7088°
Antwoord
φ = 0,7088°
4.Torsie van assen
Antwoord: τmax = 29,8 MPa
Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.
Koppel
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 20000/31,42 = 636,6 N·m
Polair traagheidsmoment
J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴
Maximale schuifspanning
τmax = T·(do/2)/J = 636620·25/534071 = 29,8 MPa
Antwoord
τmax = 29,8 MPa
5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie
Antwoord: τmax = 31,62 MPa
Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Straal van de cirkel van Mohr
τmax = R = √(((110 − 90)/2)² + −30²) = 31,62 MPa
Antwoord
τmax = 31,62 MPa
6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie
Antwoord: τθ = −40,31 MPa
Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Transformatieformule
τθ = −−35·−0,866 + −20·0,5 = −40,31 MPa
Antwoord
τθ = −40,31 MPa
7.Axiale spanning en rek
Antwoord: P = 77,37 kN
Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, Pi = P·EiAi/ΣEA, en σi = Ei·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.
Oppervlakken
A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²
Soepelheden
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·1963) = 9,26 × 10⁻⁷ mm/N
Belasting
P = 0,4/5,17 × 10⁻⁶ = 77368 N = 77,37 kN
Antwoord
P = 77,37 kN
8.Axiale spanning en rek
Antwoord: σ2 = 65,48 MPa
Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, Pi = P·EiAi/ΣEA, en σi = Ei·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.
Stijfheden
k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm
k₂ = 120000·706,9/200 = 424115 N/mm
Aandeel van segment 2
F2 = 60000·424115/549779 = 46286 N
Spanning
σ2 = 46286/706,9 = 65,48 MPa (druk)
Antwoord
σ2 = 65,48 MPa
9.Knik van kolommen
Antwoord: Pcr = 248,1 kN
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Kleinste traagheidsmoment
Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
Kniklengte
KL = 1·1000 = 1000 mm
Kritieke belasting
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1000² = 248050 N = 248,1 kN
Antwoord
Pcr = 248,1 kN
10.Knik van kolommen
Antwoord: d = 93,26 mm
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Benodigde kritieke belasting
Pcr = n·P = 3·95000 = 285000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm
Los op naar de diameter
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·285000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 93,26 mm
Antwoord
d = 93,26 mm
Controle: de slankheid KL/r is 128,7, dus de kolom is slank en Euler geldt.
11.Mechanische trillingen
Antwoord: fd = 1,273 Hz
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Ongedempte eigenfrequentie
ωn = √(1000/10) = 10 rad/s
fn = 10/(2π) = 1,592 Hz
Gedempte eigenfrequentie
fd = fn·√(1 − ζ²) = 1,592·√(1 − 0,6²) = 1,273 Hz
Antwoord
fd = 1,273 Hz
12.Mechanische trillingen
Antwoord: fn = 4,142 Hz
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Vervangende stijfheid
Alleen k1 en k2 staan parallel. Dat paar staat in serie met k3, dus combineer ze via hun omgekeerde.
k12 = 80 + 25 = 105 kN/m
keq = 105·50/(105 + 50) = 33,87 kN/m
Eigenfrequentie
ωn = √(33871/50) = 26,03 rad/s
fn = 26,03/(2π) = 4,142 Hz
Antwoord
fn = 4,142 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design