Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Twee evenwijdige assen liggen 240 mm uit elkaar. Ze moeten worden verbonden met een paar rechte tandwielen met een module van 4 mm en een vertraging van 4 : 1. Hoeveel tanden N₂ moet het tandwiel hebben?

a = 240 mmm = 4 mmi = 4

N₂ =

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een samengestelde tandwieloverbrenging draait tandwiel A (32 tanden) op de ingaande as met 1450 rpm en drijft tandwiel B (50 tanden) aan. Tandwiel C (12 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D op de uitgaande as aan. De uitgaande as moet met 185,6 rpm draaien. Hoeveel tanden N_D moet tandwiel D hebben?

n_in = 1450 rpmA = 32B = 50C = 12n_out = 185,6 rpm

N_D =

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van aluminium is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 500 N·md = 50 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 100 kW over bij 3000 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 100 kWN = 3000 rpmd_o = 50 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 70 MPa en σᵧ = 40 MPa. Hoe groot mag de schuifspanning τ_xy (grootte) worden voordat de grootste hoofdspanning 115 MPa bereikt?

σ_x = 70 MPaσ_y = 40 MPaσ₁ = 115 MPa

τ_xy = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = −50 MPa, σᵧ = 70 MPa en τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). Vind de vergelijkingsspanning volgens Von Mises σ_vM.

σ_x = −50 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 10 MPa

σ_vM = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van messing onder de axiale belasting.

P = 70 kNd = 16 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 70 kNdeel 1: Ø30 mm, 0,5 m, staal (E = 200 GPa)deel 2: Ø16 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (staal)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (staal)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 30 mm 3 perioden later een piek van 9,7 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 30 mmx₃ = 9,7 mmn = 3

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 40 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 20 kN/m en de onderste k₂ = 5 kN/m. Vind de vervangende stijfheid k_eq van het verensysteem in kN/m.

m = 40 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: N₂ = 96

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Totaal aantal tanden

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·240/4 = 120

Verdeel volgens de verhouding

N₁ = 120/(1 + 4) = 24

N₂ = 4·24 = 96

Antwoord

N₂ = 96

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: N_D = 60

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Toerental van de tussenas

n_B = n_C = 1450·32/50 = 928 rpm

Tanden op tandwiel D

N_D = C·n_C/n_out = 12·928/185,6 = 60

Antwoord

N_D = 60

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 2,694 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1500/(26000·613592) = 0,04701 rad

φ = 0,04701·180/π = 2,694°

Antwoord

φ = 2,694°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 19,46 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 100000/314,2 = 318,3 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 318310·25/408885 = 19,46 MPa

Antwoord

τ_max = 19,46 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_xy = 58,09 MPa

Benodigde straal

C = (70 + 40)/2 = 55 MPa

R = σ₁ − C = 115 − 55 = 60 MPa

Schuifspanning

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(60² − 15²) = 58,09 MPa

Antwoord

τ_xy = 58,09 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_vM = 105,8 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 10 MPa, R = 60,83 MPa

σ₁ = 70,83 MPa, σ₂ = −50,83 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(70,83² − 70,83·(−50,83) + (−50,83)²) = 105,8 MPa

Antwoord

σ_vM = 105,8 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 8,704 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 70·1000/201,1 = 348,2 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 348,2/100000 = 0,003482 = 3482 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,003482·2500 mm = 8,704 mm

Antwoord

δ = 8,704 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 7,708 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 99,03 MPa

σ₂ = 348,2 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 99,03·500/200000 = 0,2476 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 348,2·1500/70000 = 7,46 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7,708 mm

Antwoord

δ = 7,708 mm

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 506,2 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2800² = 506225 N = 506,2 kN

Antwoord

P_cr = 506,2 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 36,26 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/15 = 233,3

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/233,3² = 36,26 MPa

Antwoord

σ_cr = 36,26 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,05979

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/3)·ln(30/9,7) = 0,3764

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3764/√(39,48 + 0,1416) = 0,05979

Antwoord

ζ = 0,05979

12.Mechanische trillingen

Antwoord: k_eq = 4 kN/m

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/20 + 1/5 → k_eq = 20·5/(20 + 5) = 4 kN/m

Antwoord

k_eq = 4 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design