Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 1,1 kW die met 1440 rpm draait, drijft een rondsel aan met 20 tanden en een module van 4 mm. Vind de tangentiële kracht F_t op de tanden van het rondsel.

P = 1,1 kWn = 1440 rpmN₁ = 20m = 4 mm

F_t = N

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een open riem verbindt een aandrijvende schijf van 150 mm met 720 rpm met een schijf van 200 mm; de hartafstand is 600 mm. De wrijvingscoëfficiënt is 0,3 en de spanning in het trekkende deel mag niet meer dan 500 N zijn. Bepaal het grootste vermogen P dat de riem kan overbrengen zonder te slippen, in kW (verwaarloos centrifugaaleffecten).

d₁ = 150 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 200 mmC = 600 mmμ = 0,3T₁ = 500 N

P = kW

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 500 N·md = 30 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 5 kW overbrengen bij 1800 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 80 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 5 kWN = 1800 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 70 MPa, σᵧ = 110 MPa en τₓᵧ = 50 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = 70 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 50 MPa, σᵧ = −40 MPa en τₓᵧ = −60 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τ_θ op een vlak waarvan de normaal 30° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 50 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 30°

τ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van aluminium onder de axiale belasting.

P = 120 kNd = 16 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 20 mm, lengte 300 mm, E = 200 GPa) en een segment van brons (diameter 30 mm, lengte 300 mm, E = 110 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 60 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPasegment 2: brons, Ø30 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Hij moet 135 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 135 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 15 mm één periode later een piek van 13,2 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 15 mmx₁ = 13,2 mmn = 1

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 25 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 100 kN/m en k₂ = 5 kN/m. De massa blijft horizontaal. Vind de vervangende stijfheid k_eq van het verensysteem in kN/m.

m = 25 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: F_t = 182,4 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Koppel op het rondsel

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 1100/150,8 = 7,295 N·m

Steekcirkeldiameter

d = m·N = 4·20 = 80 mm

Tangentiële kracht

F_t = 2T/d = 2·7,295/0,08 = 182,4 N

Antwoord

F_t = 182,4 N

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: P = 1,698 kW

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Omspanningshoek

θ = 3,058 rad

Spanning in het slappe deel

e^μθ = e^0,9175 = 2,503, T₂ = 500/2,503 = 199,8 N

Vermogen

P = (500 − 199,8)·5,655 = 1,698 kW

Antwoord

P = 1,698 kW

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 13,86 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1500/(39000·79522) = 0,2418 rad

φ = 0,2418·180/π = 13,86°

Antwoord

φ = 13,86°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 11,91 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 5000/188,5 = 26,53 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·26526/(π·80)) = 11,91 mm

Antwoord

d = 11,91 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = 55,9 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·50, 70 − 110) = 111,8°

Hoek op het element

θ_p = 55,9°

Antwoord

θ_p = 55,9°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_θ = −68,97 MPa

Transformatieformule

τ_θ = −45·0,866 + −60·0,5 = −68,97 MPa

Antwoord

τ_θ = −68,97 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 25,58 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 120·1000/201,1 = 596,8 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 596,8/70000 = 0,008526 = 8526 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,008526·3000 mm = 25,58 mm

Antwoord

δ = 25,58 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 46,95 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 110000·706,9/300 = 259181 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 60000·259181/468621 = 33184 N

Spanning

σ₂ = 33184/706,9 = 46,95 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 46,95 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 81,88 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/750² = 81881 N = 81,88 kN

Antwoord

P_cr = 81,88 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 150,2 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·135000 = 270000 N

KL = 2·4000 = 8000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·8000²/(π³·70000))^(1/4) = 150,2 mm

Antwoord

d = 150,2 mm

Controle: de slankheid KL/r is 213, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,02034

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/1)·ln(15/13,2) = 0,1278

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1278/√(39,48 + 0,01634) = 0,02034

Antwoord

ζ = 0,02034

12.Mechanische trillingen

Antwoord: k_eq = 105 kN/m

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 100 + 5 = 105 kN/m

Antwoord

k_eq = 105 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design